а. По наблюдениям с Земли в движущемся со скоростью \(v\) космическом корабле величина скорости света не изменилась, расстояния в направлении движения сократились в \(\gamma=1/\sqrt{1-(v/c)^2}\) раз, а в направлении, перпендикулярном движению, не изменились. События, одновременные в неподвижном корабле, стали происходить в разные моменты времени. Разность времён \(\Delta t=\gamma xv/c^2\), где \(x\) — разность координат в направлении движения корабля. Докажите, что все эти эффекты следуют из преобразования Лоренца \(x'=\gamma(x-vt)\), \(y'=y\), \(z'=z\), \(t'=\gamma(t-vx/c^2)\).
б. Получите обратное преобразование Лоренца: определите \(x,y,z,t\) через \(x',y',z',t'\). Покажите, что полученное преобразование подтверждает принцип относительности Галилея.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Скорость света. Пусть в \(S\) фотон идёт по \(x=ct\). Тогда
\[ x'=\gamma(ct-vt)=\gamma c(1-\beta)t,\qquad t'=\gamma\Bigl(t-\frac{vct}{c^2}\Bigr)=\gamma(1-\beta)t, \]откуда \(x'=ct'\): в \(S'\) скорость того же фотона снова \(c\). Для фотона навстречу (\(x=-ct\)) то же самое.
Поперечные размеры. \(y'=y\), \(z'=z\) — прямо в преобразовании. Высота корабля не меняется.
Продольное сокращение. Длина корабля в \(S'\) — расстояние между концами в один момент \(t'\). Из \(t'=\gamma(t-vx/c^2)=\mathrm{const}\) имеем \(t=t'/\gamma+vx/c^2\). Подставляем в \(x'=\gamma(x-vt)\):
\[ x'=\gamma x-\gamma v\Bigl(\frac{t'}{\gamma}+\frac{vx}{c^2}\Bigr)=\gamma\Bigl(1-\beta^2\Bigr)x-vt'=\frac{x}{\gamma}-vt'. \]При фиксированном \(t'\) разность \(\Delta x'=\Delta x/\gamma\): движущаяся линейка короче в \(\gamma\) раз.
Одновременность. События, одновременные в \(S'\) (\(t'_1=t'_2\)), в \(S\) имеют
\[ t_1-t_2=\gamma\cdot\frac{v}{c^2}(x_1-x_2) \](из обращения; либо из \(t'=\gamma(t-vx/c^2)=\mathrm{const}\)). Это и есть \(\Delta t=\gamma xv/c^2\).
б. Обратное. Решаем систему относительно \(x,t\). Из симметрии (или прямой алгеброй: умножаем первую на \(\gamma\), вторую на \(\gamma v\) и складываем) получается
\[ x=\gamma(x'+vt'),\qquad t=\gamma\Bigl(t'+\frac{vx'}{c^2}\Bigr),\qquad y=y',\qquad z=z'. \]Это то же преобразование со знаком \(v\to-v\). Значит, \(S\) движется относительно \(S'\) со скоростью \(-v\): никакая из систем не выделена. Это и есть принцип относительности (Галилея в широком смысле: все инерциальные системы равноправны; Галилей не знал про \(c\), но логика та же).