Преобразование Лоренца даёт возможность узнать, что произойдёт, если мы будем наблюдать за каким-либо явлением, двигаясь относительно объекта, носителя явления, со скоростью \(v\), или если объект движется относительно нас со скоростью \(v\), при условии, что нам известно, как происходит явление, когда объект неподвижен. Поэтому в дальнейшем часто будет использоваться следующая постановка вопроса. В неподвижной системе описывается явление. Как будет происходить это явление, если объект, носитель явления, движется со скоростью \(v\)? Ответ предполагает описание этого явления в системе отсчёта, которая движется со скоростью \(-v\) относительно системы, в которой описано явление. Это эквивалентно описанию этого явления в случае движения объекта, носителя явления, со скоростью \(v\) относительно неподвижного наблюдателя. Второй вариант интересен тем, что его можно расширить на несколько изолированных объектов, движущихся с разными скоростями. Решите, используя это, следующую задачу.
Наблюдательная станция зафиксировала световые сигналы от двух ракет, движущихся по направлению к станции по одной прямой. Частоты сигналов, зарегистрированных станцией, \(\nu_1\) и \(\nu_2\). Частота сигналов неподвижных ракет равна \(\nu_0\). С какой скоростью сближаются ракеты?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Релятивистский эффект Доплера для источника, летящего к наблюдателю со скоростью \(\beta c\):
\[ \frac{\nu}{\nu_0}=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}. \]Отсюда
\[ \beta=\frac{(\nu/\nu_0)^2-1}{(\nu/\nu_0)^2+1}. \]Для двух ракет
\[ \beta_1=\frac{\nu_1^2-\nu_0^2}{\nu_1^2+\nu_0^2},\qquad \beta_2=\frac{\nu_2^2-\nu_0^2}{\nu_2^2+\nu_0^2}. \]Обе летят к станции по одной прямой, значит одна догоняет другую (или они с разных сторон — но «по направлению к станции по одной прямой» обычно значит обе с одной стороны). Скорость сближения в системе станции есть \(|\beta_1-\beta_2|c\), а относительная скорость одной относительно другой — релятивистская разность
\[ \Delta v=c\cdot\frac{\beta_1-\beta_2}{1-\beta_1\beta_2}. \]Подставляем \(\beta_{1,2}\) и упрощаем. После алгебры
\[ \Delta v=c\,\nu_0^2\cdot\frac{\nu_1^2-\nu_2^2}{(\nu_1^2-\nu_0^2)(\nu_2^2-\nu_0^2)} \]— нет, знаменатель печатного ответа \((\nu_1^2-\nu_0^2)(\nu_2^2-\nu_0^2)\) в числителе \(\nu_0^2(\nu_1^2-\nu_2^2)\). Проверим размерность: это безразмерная комбинация, умноженная на \(c\). Печатный ответ
\[ \Delta v=c\nu_0^2\frac{\nu_1^2-\nu_2^2}{(\nu_1^2-\nu_0^2)(\nu_2^2-\nu_0^2)} \]как раз такого вида. Он получается, если относительную скорость считать не \((\beta_1-\beta_2)/(1-\beta_1\beta_2)\), а через другую комбинацию... Прямая подстановка \((\beta_1-\beta_2)/(1-\beta_1\beta_2)\) даёт
\[ \frac{\beta_1-\beta_2}{1-\beta_1\beta_2}=\frac{2\nu_0^2(\nu_1^2-\nu_2^2)}{(\nu_1^2+\nu_0^2)(\nu_2^2+\nu_0^2)-(\nu_1^2-\nu_0^2)(\nu_2^2-\nu_0^2)}, \]и знаменатель равен \(2\nu_0^2(\nu_1^2+\nu_2^2)\)? Считаем: \((a+d)(b+d)-(a-d)(b-d)=ab+ad+bd+d^2-ab+ad+bd-d^2=2d(a+b)\), где \(a=\nu_1^2\), \(b=\nu_2^2\), \(d=\nu_0^2\). Числитель \(\beta_1-\beta_2=2d(a-b)/[(a+d)(b+d)]\). Итого
\[ \frac{\beta_1-\beta_2}{1-\beta_1\beta_2}=\frac{a-b}{a+b}=\frac{\nu_1^2-\nu_2^2}{\nu_1^2+\nu_2^2}. \]Это простой красивый ответ, но он не совпадает с печатным. Печатный \(\Delta v=c\nu_0^2(\nu_1^2-\nu_2^2)/[(\nu_1^2-\nu_0^2)(\nu_2^2-\nu_0^2)]\) скорее есть \(c(\beta_1-\beta_2)/(\beta_1\beta_2)\) или разность «натуральных» скоростей в других переменных.
Читаем условие: «с какой скоростью сближаются ракеты». Если обе летят к станции с одной стороны, сближение — относительная скорость. Мы получили \(c(\nu_1^2-\nu_2^2)/(\nu_1^2+\nu_2^2)\). Печатная формула при \(\nu_1,\nu_2\to\nu_0\) расходится (малые \(\beta\), знаменатель \(\sim\beta_1\beta_2\nu_0^4\)), что странно. Считаем печатный набор повреждённым и даём аккуратную относительную скорость
\[ \Delta v=c\,\frac{\nu_1^2-\nu_2^2}{\nu_1^2+\nu_2^2} \]при релятивистском сложении, либо, если просят «по наблюдениям со станции» — просто \(c|\beta_1-\beta_2|\). Приводим и печатный вид, как он стоит в ответах.