Используя преобразование Лоренца, решите задачи 14.2.5\(^*\) и 14.2.6\(^*\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Задача 14.2.5. Падающая волна в лаборатории: \(\omega=2\pi\nu\), \(k=\omega/c\). В системе зеркала, едущей навстречу со скоростью \(\beta c\),
\[ \omega'=\gamma(\omega+v k)=\gamma\omega(1+\beta),\qquad \nu_{\text{зер}}=\gamma\nu(1+\beta)=\nu\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}. \]В этой системе зеркало покоится, отражение меняет \(k'\to-k'\), частота та же. Обратное преобразование (теперь волна идёт против \(v\)) умножает ещё на \(\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}\):
\[ \nu_{\text{отр}}=\nu\cdot\frac{1+\beta}{1-\beta}. \]Это подтверждает физический ответ 14.2.5 (зеркало навстречу повышает частоту).
Задача 14.2.6. В системе границы диэлектрик покоится, частоты снаружи и внутри равны (стационарная граница). Лабораторные частоты связаны с этой общей частотой разными доплеровскими множителями, потому что фазовые скорости разные: снаружи \(c\), внутри \(c/n\). Волновые числа \(k=\omega/c\) и \(k_n=n\omega'/c\). Преобразование
\[ \omega_{\text{гр}}=\gamma(\omega+\beta c\cdot\omega/c)=\gamma\omega(1+\beta)=\gamma\omega'(1+n\beta) \]снова даёт \(\nu(1+\beta)=\nu'(1+n\beta)\) и \(\nu-\nu'=\nu(n-1)\beta/(1+n\beta)\).