\(\pi^0\)-мезон пролетает со скоростью \(v\) от места своего рождения до места распада расстояние \(l\). Сколько времени прошло между этими событиями в системе протона, летящего вслед за \(\pi^0\)-мезоном со скоростью \(u\)?
К задаче 14.2.7. Два события — рождение и распад — разнесены и в пространстве, и во времени; нужен полный Лоренц, не просто \(\gamma\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
В лаборатории события разделены интервалом \(\Delta x=l\), \(\Delta t=l/v\). Протон — это система, едущая со скоростью \(u\). Преобразование Лоренца для времени сразу даёт \(\Delta t'\).
В лабораторной системе рождение и распад происходят в точках, разнесённых на \(l\), и между ними проходит время \(l/v\) (мезон летит равномерно со скоростью \(v\)).
Система протона движется в ту же сторону со скоростью \(u\). Преобразование Лоренца
Если бы события происходили в одной точке, осталось бы только \(\gamma_u\cdot l/v\). Член \(ul/c^2\) — это относительность одновременности: распад происходит «дальше по \(x\)», и в системе протона он сдвинут по времени назад.
Проверка. При \(u=0\) получаем \(\tau=l/v\) — лабораторное время. При \(u=v\) (система самого мезона) \(\tau=l\sqrt{1-v^2/c^2}/v\) — собственное время жизни, как и должно быть. При \(u\to c\) знаменатель мал, но числитель \(1-v/c\) тоже режет: ультрарелятивистский протон «почти догоняет» мезон. Размерность — время.