Через какое время фотон перелетит галактику диаметром \(10^5\) световых лет по наблюдениям с космического корабля, движущегося вслед за фотоном со скоростью, равной 0,6 скорости света?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Диаметр в системе галактики \(L=10^5\) световых лет, то есть свет пересекает её за \(T_0=10^5\) лет. Корабль летит вслед со скоростью \(u=0{,}6c\), \(\gamma=1/\sqrt{1-0{,}36}=1/0{,}8=1{,}25\).
Подставляем в результат задачи 14.2.7 \(v=c\), \(l=L\):
\[ \tau=\frac{L(1-u/c)}{c\sqrt{1-u^2/c^2}}=\frac{L}{c}\cdot\frac{1-\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}=T_0\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}. \]При \(\beta=0{,}6\)
\[ \tau=10^5\cdot\sqrt{\frac{0{,}4}{1{,}6}}=10^5\cdot\sqrt{0{,}25}=10^5\cdot0{,}5=5\cdot10^4\ \text{лет}. \]Другой взгляд: в системе корабля длина галактики \(L/\gamma=0{,}8\cdot10^5\) св. лет, но галактика наезжает на корабль со скоростью \(0{,}6c\), и фотон догоняет «дальний край», который к нему приближается. Относительная скорость фотона и дальнего края \(c-(-0{,}6c)\) в наивной арифметике не работает; правильный расчёт снова даёт \(5\cdot10^4\) лет.