В центре стержня находится лампочка. В системе отсчёта, в которой стержень покоится, свет от лампочки дойдёт до концов стержня одновременно, а в системе отсчёта, в которой стержень движется в продольном направлении со скоростью \(v\), свет придёт на дальний конец на \(lv/(c^2\sqrt{1-v^2/c^2})\) позже, чем на ближний; \(l\) — собственная длина стержня. Докажите это.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Через Лоренца. В системе стержня \(S'\) вспышка в \(x'=0\), \(t'=0\); приход на концы — события \(A\): \(x'=-l/2\), \(t'=l/(2c)\) и \(B\): \(x'=l/2\), \(t'=l/(2c)\). Обратное преобразование (стержень едет в \(S\) со скоростью \(v\)):
\[ t=\gamma\Bigl(t'+\frac{vx'}{c^2}\Bigr). \]Разность времён прихода
\[ t_B-t_A=\gamma\cdot\frac{v}{c^2}\bigl(x'_B-x'_A\bigr)=\gamma\cdot\frac{v}{c^2}\cdot l=\frac{lv}{c^2\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]Именно то, что просили. Дальний конец освещается позже.
В лоб в системе \(S\). Длина стержня \(l/\gamma\), вспышка из середины. Свет вперёд догоняет торец, убегающий со скоростью \(v\): время \(t_+=(l/(2\gamma))/(c-v)\). Свет назад встречает набегающий торец: \(t_-=(l/(2\gamma))/(c+v)\). Разность
\[ t_+-t_-=\frac{l}{2\gamma}\cdot\frac{2v}{c^2-v^2}=\frac{lv}{c^2\sqrt{1-v^2/c^2}}, \]потому что \(1-v^2/c^2=1/\gamma^2\) и \(\gamma\cdot(v/c^2)\cdot l\) появляется снова.