Скорость электронов в параллельном пучке \(\beta c\). Как изменится плотность электронов при движении относительно пучка со скоростью \(\beta_1 c\) в продольном направлении?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В лаборатории пучок имеет плотность \(\rho\) и скорость \(\beta c\), ток \(j=\rho\beta c\). Наблюдатель едет вдоль пучка со скоростью \(\beta_1 c\):
\[ \rho'=\gamma_1\Bigl(\rho-\beta_1\frac{j}{c}\Bigr)=\gamma_1\rho(1-\beta\beta_1),\qquad \gamma_1=\frac{1}{\sqrt{1-\beta_1^2}}. \]Если наблюдатель летит навстречу пучку, \(\beta_1\) меняет знак, плотность растёт:
\[ \frac{\rho'}{\rho}=\frac{1+\beta\beta_1}{\sqrt{1-\beta_1^2}}. \]Именно это пишет книга: «увеличится в \((1+\beta\beta_1)/\sqrt{1-\beta_1^2}\) раз». Знак плюс — встречное движение (или \(\beta_1\) направлена против скорости электронов).
Плотность и ток — 4-вектор: \(\rho'=\gamma_1(\rho-\beta_1 j/c)=\gamma_1\rho(1-\beta\beta_1)\). Книжный плюс — наблюдатель летит навстречу пучку. Пусть \(\beta=\beta_1=0{,}6\), \(\gamma_1=1{,}25\): навстречу \(\rho'/\rho=1{,}25\cdot(1+0{,}36)=1{,}70\); вместе с пучком \(\rho'=\rho/\gamma=0{,}80\rho\) — собственная плотность. Инвариант \(c^2\rho^2-j^2=c^2\rho^2(1-\beta^2)=\rho^2c^2/\gamma_{\mathrm{пуч}}^2\) есть квадрат собственной плотности и не зависит от наблюдателя.
При \(v\ll c\) изменение плотности \(\approx\beta\beta_1\) — просто ветер: навстречу электроны чаще, вдогонку реже. При \(\beta_1\to1\) навстречу все электроны сплющиваются в блин, \(\rho'\to\infty\). Это тот же \(\gamma\), что растит \(E\) поперечного зарядового сгустка в 14.3.12.