В прямом проводе плотность тока равна \(j\). Как изменится эта плотность при движении провода со скоростью \(\beta_1 c\) в продольном направлении? Какой объёмный заряд возникает в проводе?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Преобразование 4-тока вдоль провода:
\[ j'=\gamma(j-\beta_1 c\rho)=\gamma j,\qquad \rho'=\gamma\Bigl(\rho-\frac{\beta_1 j}{c}\Bigr)=-\frac{\gamma\beta_1 j}{c}, \]где \(\gamma=1/\sqrt{1-\beta_1^2}\). Книга пишет \(\rho=\beta\gamma j/c\) (модуль, знак — по направлению сноса) и «увеличится в \(\gamma\) раз». Объёмный заряд возникает потому, что электроны и ионы сокращаются по-разному (как в 14.3.4).
Исходный провод нейтрален, \(\rho=0\), есть только \(j\). Буст вдоль провода: \(j'=\gamma j\), \(\rho'=-\gamma\beta_1 j/c\). При \(\beta_1=0{,}6\), \(\gamma=1{,}25\) ток растёт на 25 процентов, появляется заряд \(\rho=0{,}75\,j/c\). Знак: электроны отстают от ионной решётки (сокращение длин разное, как в 14.3.4). Снаружи появится \(E=\beta B\), чего у стоячего провода не было.
Инвариант \(c^2\rho^2-j^2=-j^2\) сохраняется: \(c^2\rho'^2-j'^2=\gamma^2(\beta_1^2-1)j^2=-j^2\). При \(v\ll c\) заряд квадратично мал, ток почти прежний. При \(\beta\to1\) ток и заряд растут как \(\gamma\), отношение \(E/B=\beta\to1\). Поперечный буст (14.3.21) заряда не рождает — здесь движение вдоль тока принципиально.