«…Для движущегося электрона электрическое поле \(E\) эквивалентно добавочному магнитному полю \(\vec B=[\vec\beta\times\vec E]\)» (Г. Бете, Э. Солпитер). Определите, используя это утверждение, силу, действующую на магнитный момент электрона в атоме водорода, если электрон движется по круговой орбите.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Кулоновское поле ядра на орбите \(E=e/R^2\). Добавочное \(B=\beta E=ev/(cR^2)\) в обычных единицах; в соглашении книги \(\vec B=[\vec\beta\times\vec E]\). Неоднородность \(B\) на масштабе \(R\): перепад на единицу длины \(\Delta B/\Delta r\sim B/R\sim ev/(cR^3)\).
Сила на момент \(F\sim\mu\,\Delta B/\Delta r\). Книжный ответ:
\[ F_\pm=\frac{2\mu e v}{R_\pm^3},\qquad R_\pm=\frac{e^2}{2\gamma m_e v^2}. \]Радиусы — из баланса кулоновской силы и центробежной с лоренцевой массой \(\gamma m_e\), плюс добавка \(\pm F\) от момента. Два знака — две проекции спина на \(B\) (спин-орбиталь).
Это тонкая структура и спин-орбитальное расщепление «на пальцах»: разные спины чуть по-разному притягиваются к ядру.
В системе электрона ядро едет, его кулоново \(E=e/R^2\) рождает \(B'=[\vec\beta\times\mathbf{E}]\). При орбитальной \(\beta\sim\alpha=1/137\) это слабое поле, \(\gamma\approx1\). Неоднородность \(B\sim\beta E/R\) даёт силу на момент \(F\sim\mu\,\Delta B/\Delta r\sim\mu e v/(c R^3)\). Два знака спина — две добавки к центростремительной силе и два радиуса. Отношение \(F\) к кулоновской \(e^2/R^2\) порядка \(\beta^2\sim\alpha^2\) — как и положено спин-орбитальному расщеплению.
При \(v\to0\) добавочного \(B\) нет, сила на \(\mu\) в чисто электрическом поле нуль (нет магнитного градиента). Формула Бете–Солпитера \(B=[\vec\beta\times E]\) — это ровно \(B_\perp'=\gamma[\vec\beta\times E]\) в пределе \(\gamma\to1\). Томас-прецессия даёт лишний множитель \(1/2\) в тонкой структуре; школьная оценка ловит порядок, не коэффициент. Инвариант \(E^2-B^2\approx E^2>0\): поле «электрическое».