Когда-нибудь в космическом пространстве будут создаваться гигантские накопители электромагнитной энергии. Один из вариантов — магнитоэлектрический плоский конденсатор, в котором разноименные заряды на пластинах создают поле \(E\), а циркулярный ток сверхпроводящей подложки создаёт поле \(B\), равное по величине (в СГС) \(E\). В таком конденсаторе магнитное давление, расталкивающее пластины, равно электрическому, притягивающему пластины, и в целом конденсатор в равновесии. Докажите, что равновесие не изменится при движении как вдоль, так и поперёк пластин.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В покое электрическое притяжение пластин даёт давление \(E^2/8\pi\), магнитное расталкивание токов — \(B^2/8\pi\). При \(E=B\) сумма нуль: крепить пластины не нужно.
\(E^2-B^2\) — лоренцев инвариант. После любого сноса (вдоль или поперёк пластин) \(E'^2-B'^2=E^2-B^2=0\). Значит, в новой системе электрическое и магнитное давления снова равны.
Можно проверить по формулам 14.3.8 явно. Вдоль пластин: \(E'=\gamma(E-\beta B)=\gamma E(1-\beta)\), \(B'=\gamma(B-\beta E)=\gamma E(1-\beta)\), снова \(E'=B'\). Поперёк (скорость нормальна пластинам): \(E\) продольно, не меняется; \(B\) поперечно, \(B'=\gamma B\), и появляется \(E_\perp=\gamma\beta B\). Тогда \(E_{\text{полн}}^2-B'^2=E^2+\gamma^2\beta^2 B^2-\gamma^2 B^2=E^2-B^2=0\). Равновесие держится.
Давления \(E^2/8\pi\) и \(B^2/8\pi\) уравновешены, когда \(E=B\). Но \(E^2-B^2\) — лоренцев инвариант, и если он нуль в одной системе, он нуль в любой. При \(\beta=0{,}6\) вдоль пластин: \(E'=\gamma(E-\beta B)=\gamma E(1-\beta)=0{,}5\,E\), \(B'=\gamma(B-\beta E)=0{,}5\,E\), снова \(E'=B'\). Поперёк пластин \(E\) продольно не меняется, \(B'=\gamma B\), появляется \(E_\perp=\gamma\beta B\), и \(E_{\mathrm{полн}}^2-B'^2=E^2+\gamma^2\beta^2B^2-\gamma^2B^2=0\).
Буст не создаёт равновесия из ничего и не разрушает имеющееся. Если изначально \(E\neq B\), инвариант ненулевой — пластины либо слипаются, либо разлетаются во всех системах сразу. Плоская волна (\(E=B\), \(E\perp B\)) — предельный случай того же инварианта: её «давление» чистое, уравновешивать нечего. При \(v\ll c\) поправки второго порядка, равновесие и так очевидно.