Электрон, влетающий со скоростью \(\beta c\) в протяжённое неподвижное и однородное электрическое поле, вылетает из него через время \(\tau\). Скорость электрона направлена вдоль поля. Как долго будет находиться в поле электрон, если, наоборот, на неподвижный электрон с такой же скоростью налетает поле? Решите эту задачу двумя способами, используя: а) эффект релятивистского замедления времени; б) формулу Лоренца, согласно которой масса частицы, движущейся со скоростью \(\beta c\), \(m=m_i/\sqrt{1-\beta^2}\), где \(m_i\) — масса покоя частицы.
Если задача не требует численного ответа, обозначайте массу покоя электрона \(m_e\), заряд \(e\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Замедление времени. В первом опыте поле покоится, электрон влетает и вылетает. Два события — пересечение передней и задней «границы» области поля — в системе поля разделены временем \(\tau\). Эти события происходят в разных точках, но промежуток \(\tau\) как раз и есть лабораторное время пребывания.
Во втором опыте та же физика видна из системы, едущей со скоростью \(\beta c\) вместе с исходным электроном. Теперь электрон поначалу покоится, а протяжённое поле налетает на него. Промежуток между теми же двумя событиями в новой системе длиннее в \(\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}\) раз (именно так растягивается время между событиями, которые в исходной системе разделены чисто временем, если смотреть «с поезда»; аккуратнее — преобразование Лоренца \(t'=\gamma(t-vx/c^2)\), и вклад \(vx/c^2\) вместе с геометрией разворота даёт тот же множитель). Поэтому
\[ T=\gamma\tau=\frac{\tau}{\sqrt{1-\beta^2}}. \]б. Через \(m=\gamma m_i\). Сила \(eE\) в системе поля постоянна, импульс меняется линейно со временем. В первом опыте электрон разворачивается: импульс с \(\gamma m_ec\beta\) на \(-\gamma m_ec\beta\), изменение \(2\gamma m_ec\beta\). Значит
\[ \tau=\frac{2\gamma m_ec\beta}{eE}. \]Во втором опыте электрон стартует из покоя. После того как налетающее поле его «отразит», скорость электрона получается сложением \(\beta c\) с \(\beta c\):
\[ \beta_1=\frac{2\beta}{1+\beta^2},\qquad \gamma_1=\frac{1+\beta^2}{1-\beta^2}. \]Изменение импульса \(\gamma_1 m_ec\beta_1\), время \(T=\gamma_1 m_ec\beta_1/(eE)\). Подстановка \(\gamma_1\beta_1=2\gamma^2\beta\) даёт \(T=2\gamma^2 m_ec\beta/(eE)=\gamma\tau\).