Какую максимальную скорость может приобрести частица с массой покоя \(m\) и зарядом \(q\), рождённая с нулевой скоростью в переменном синусоидальном электрическом поле с амплитудой напряжённости \(E\) и частотой \(\omega/(2\pi)\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поле однородно в пространстве и синусоидально во времени: \(E(t)=E\cos\omega t\) (фазу выберем позже). Уравнение на импульс
\[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=qE\cos\omega t,\qquad p(t)=\frac{qE}{\omega}\sin\omega t+C. \]Частица рождается с нулевой скоростью, то есть с \(p=0\). Если она родилась в нуле синуса, \(C=0\) и \(p_{\max}=qE/\omega\). Но можно родиться в минимуме поля-импульса: тогда константа такова, что импульс идёт от \(-qE/\omega\) до \(+qE/\omega\), и размах
\[ p_{\max}=\frac{2qE}{\omega}. \]Именно этот максимум стоит в ответе. Из \(p=\gamma mv\) и \(\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}\) получаем \(p=mv/\sqrt{1-v^2/c^2}\), откуда
\[ v=\frac{p}{\sqrt{m^2+p^2/c^2}}\,c=\frac{c}{\sqrt{1+(mc\omega/2qE)^2}}. \]Фаза рождения решает всё. Частица, появившаяся в нуле синуса, качается симметрично и набирает только \(qE/\omega\). Появившаяся в минимуме «стартует с нижней точки» и доезжает до противоположного края — отсюда двойка в \(p_{\max}=2qE/\omega\). В переменном поле СВЧ-полости линейного ускорителя тот же интеграл, только фазу подбирают, чтобы частица всё время видела ускоряющую полуволну.