Электрон, влетающий со скоростью \(\beta c\) в протяжённое неподвижное и однородное электрическое поле, проникает внутрь этого поля на глубину \(l\). Скорость электронов направлена вдоль поля. На какую глубину проникнут электроны, если, наоборот, на неподвижные электроны с такой же скоростью налетает электрическое поле? Решите эту задачу двумя способами, используя: а) эффект релятивистского сокращения расстояния; б) взаимосвязь работы \(A\) с изменением массы частицы \(\Delta m\): \(A=c^2\Delta m\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Сокращение длин. В системе, едущей со скоростью \(\beta c\), продольные размеры области поля сокращаются в \(\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}\) раз:
\[ l'=l\sqrt{1-\beta^2}. \]б. Через \(A=c^2\Delta m\). Первый опыт: электрон влетает со скоростью \(\beta c\) и останавливается, проникнув на \(l\). Потеря кинетической энергии равна работе поля:
\[ c^2\Delta m=\Bigl(\frac{m_e}{\sqrt{1-\beta^2}}-m_e\Bigr)c^2=eEl,\qquad l=\frac{m_e}{eE}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}-1\Bigr). \]Второй опыт: электрон стартует из покоя и разгоняется до \(\beta c\), проходя в направлении поля
\[ l_1=\frac{m_ec^2}{eE}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}-1\Bigr). \]За это время \(\tau=m_ec\beta\big/\big(eE\sqrt{1-\beta^2}\big)\) само поле проезжает \(\Delta l=\beta c\cdot\tau\). Суммарная глубина проникновения электрона в налетающее поле
\[ l'=l_1+\Delta l=\frac{m_e}{eE}\bigl(1-\sqrt{1-\beta^2}\bigr)=l\sqrt{1-\beta^2}. \]Оба способа сошлись.