Электрон, влетающий со скоростью \(v\) в однородное электрическое поле, летящее ему навстречу со скоростью \(u\), проникает в поле на глубину \(l\). Определите напряжённость поля, если оно направлено по скорости электрона.
К задаче 14.4.12. Сложение скоростей плюс работа \(c^2\Delta m=eEl_{\text{поле}}\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
В системе поля скорость электрона — сложение \(v\) и \(u\), глубина связана с разностью \(\gamma\)-факторов. Лабораторная \(l\) пересчитывается лоренцевым сокращением и движением фронта; в ответе книги \(l\) в знаменателе съеден набором — размерность требует \(1/l\).
Электрон останавливается, работа поля равна изменению энергии:
\[ eE\,l_{\text{поле}}=(\gamma_1-1)m_ec^2. \]
Лабораторная глубина \(l\) связана с \(l_{\text{поле}}\) сокращением и тем, что фронт сам едет. Собирая множители \(\gamma_u\) и относительную скорость, получаем (восстанавливаем \(l\) в знаменателе — иначе \(E\) не напряжённость)
В книге набрано без \(1/l\) в первом множителе: \(E=m_ec^2\sqrt{1-v^2/c^2}\,(\ldots)\). Размерность чинит деление на \(l\). При \(u=0\) формула обязана перейти в \(E=m_ec^2(\gamma_v-1)/l\).
Проверка. При \(u=0\): \(E=m_ec^2(\gamma-1)/l\) — энергия, потраченная на остановку. При \(v=0\) остаётся налетающее поле, как второй опыт 14.4.11. При \(u=v=0\) поле не нужно: \(E=0\).