За какое время электрон, родившийся без начальной скорости в электрическом поле с напряжённостью \(E=10^4\) В/см (\(1\) В/см \(=1/300\) ед. СГС напряжённости), пролетит в этом поле расстояние \(l=1\) м?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Электрон стартует из покоя, сила постоянна: \(p=eEt\). Полная энергия
\[ \mathcal{E}=\sqrt{(eEct)^2+(m_ec^2)^2}. \]Скорость \(v=pc^2/\mathcal{E}\). Путь
\[ x=\int_0^t v\,\mathrm{d}t'=\frac{1}{eE}\Bigl(\sqrt{(eEct)^2+(m_ec^2)^2}-m_ec^2\Bigr). \]Полагая \(x=l\) и разрешая относительно \(t=\tau\):
\[ eEl+m_ec^2=\sqrt{(eEc\tau)^2+(m_ec^2)^2}, \] \[ \tau=\frac{1}{c}\sqrt{l^2+\frac{2lm_ec^2}{eE}}=\sqrt{\Bigl(2+\frac{eEl}{m_ec^2}\Bigr)\frac{m_el}{eE}}. \]В ответах набрано \(\sqrt{(2-eEl/m_ec^2)\,m_el/eE}\). Знак минус при \(eEl\sim 2m_ec^2\) (а у нас как раз так: \(10^4\) В/см на 1 м даёт \(\sim1\) МэВ \(\approx2m_ec^2\)) обращает время в нуль или в мнимость. Физика требует плюса — это и есть \(\sqrt{2ml/eE+l^2/c^2}\).
Численно нерелятивистский кусок \(\sqrt{2m_el/eE}\) того же порядка, что \(l/c=3{,}3\) нс: электрон за метр как раз выходит на релятивизм.
Численная проверка знака. \(E=10^4\) В/см \(=10^6\) В/м, \(l=1\) м, \(eEl=10^6\) эВ, \(m_ec^2=5{,}11\cdot10^5\) эВ, \(eEl/mc^2\approx2\). Книжный минус даёт нуль под корнем. Плюс даёт \(\tau=\sqrt{4\cdot m_el/eE}=\sqrt{2ml/eE}\cdot\sqrt{2}\). Нерелятивистский кусок \(\sqrt{2ml/eE}\approx3\) нс, \(l/c=3{,}3\) нс — одно и то же по порядку: электрон на этом метре как раз становится релятивистским, обе части формулы нужны.