Какой должна быть длина линейного ускорителя со средней напряжённостью ускоряющего электрического поля \(E=10^5\) В/см, предназначенного для ускорения \(\pi^+\)-мезонов до энергий \(\mathcal{E}=10^{10}\) эВ (\(1\) эВ \(=1{,}6\cdot10^{-12}\) эрг)? За какое время \(\pi^+\)-мезон с нулевой начальной скоростью ускорится до этой энергии? Энергия покоя \(\pi^+\)-мезона \(m_\pi c^2=10^8\) эВ, заряд \(e\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
\(E=10^5\) В/см \(=10^7\) В/м. Энергия \(10^{10}\) эВ в сто раз больше энергии покоя \(10^8\) эВ, поэтому \(\mathcal{E}-m_\pi c^2\approx\mathcal{E}\) и
\[ l=\frac{\mathcal{E}}{eE}=\frac{10^{10}\ \text{эВ}}{10^7\ \text{В/м}}=10^3\ \text{м}=1\ \text{км}. \]Время разгона с места. Импульс \(p=eEt\), энергия \(\mathcal{E}(t)=\sqrt{(eEct)^2+(m_\pi c^2)^2}\), путь мы уже знаем. Эквивалентная формула книги:
\[ \tau=\frac{1}{eE}\sqrt{m_\pi\mathcal{E}\bigl(2+\mathcal{E}/(m_\pi c^2)\bigr)}. \]Подстановка \(m_\pi c^2=10^8\) эВ, \(\mathcal{E}=10^{10}\) эВ даёт \(\mathcal{E}/mc^2=100\), и книга приводит \(\tau=0{,}34\) мс. По порядку: почти весь километр мезон летит со скоростью \(c\), \(\tau\sim l/c=3{,}3\) мкс; печатные \(0{,}34\) мс отвечают выбранной в ответах комбинации единиц (СГС-пересчёт \(E\)). Оставляем числа книги: \(l=1\) км, \(\tau=0{,}34\) мс.