Для изучения поля электронов на малых расстояниях их ускоряют до энергий в \(N=1000\) раз большей энергии покоя электрона \(m_ec^2\) и наблюдают встречное взаимодействие двух таких электронов. Во сколько раз нужно увеличить энергию электрона, чтобы получить такие же результаты, наблюдая взаимодействие между движущимся электроном и первоначально неподвижным электроном?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поле электрона на малых расстояниях смотрят в системе центра масс, где оба летят навстречу симметрично. Чтобы «та же физика» получилась на неподвижной мишени, в ЦМ должно быть то же \(\gamma_{\text{цм}}=N\).
Инвариант \(s=(\mathcal{E}_1+\mathcal{E}_2)^2/c^2-(\vec p_1+\vec p_2)^2\). Для встречных электронов с энергией \(N m_ec^2\) каждый: \(\vec p_1=-\vec p_2\), \(s=4N^2 m_e^2c^2\). Для электрона с энергией \(\gamma'm_ec^2\) по покоящемуся:
\[ s=2m_e^2c^2(1+\gamma'). \]Приравниваем: \(2(1+\gamma')=4N^2\), \(\gamma'=2N^2-1\). При \(N=1000\)
\[ \gamma'=2\cdot10^6-1\approx2\cdot10^6. \]Энергия на неподвижной мишени в \(2N^2=2\cdot10^6\) раз больше \(m_ec^2\). По сравнению со встречной энергией \(N m_ec^2\) её нужно поднять в
\[ k=2N-\frac{1}{N}\simeq2000 \]раз. В этом и смысл коллайдеров: встречные пучки экономят огромный фактор \(N\).