Пролетая через электростатический конденсатор, протон с кинетической энергией \(\mathcal{E}=10^6\) эВ отклоняется на угол \(\alpha_p=0{,}1\) рад. Оцените, на какой угол отклонится электрон с такой же кинетической энергией.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В конденсаторе поперечная сила \(eE\), время пролёта \(L/v\), поперечный импульс \(p_\perp=eEL/v\). Угол мал, \(\operatorname{tg}\alpha\approx\alpha=p_\perp/p_\parallel\). Заряд один, геометрия одна, поэтому \(p_\perp\propto 1/v\). Тогда
\[ \frac{\operatorname{tg}\alpha_e}{\operatorname{tg}\alpha_p}=\frac{p_p}{p_e}\cdot\frac{v_e}{v_p}. \]Кинетическая энергия \(\mathcal{E}=10^6\) эВ. У протона \(m_pc^2=938\) МэВ, \(\mathcal{E}\ll m_pc^2\), \(p_p=\sqrt{2m_p\mathcal{E}}\), \(v_p=\sqrt{2\mathcal{E}/m_p}\). У электрона \(m_ec^2=0{,}511\) МэВ, \(\mathcal{E}>m_ec^2\), \(p_e=\sqrt{\mathcal{E}(\mathcal{E}+2m_ec^2)}/c\), \(v_e=p_ec^2/(\mathcal{E}+m_ec^2)\).
Книжная компактная запись (малые углы):
\[ \alpha_e=\frac{m_ec^2+\mathcal{E}}{2m_ec^2+\mathcal{E}}\cdot\frac{2m_pc^2+\mathcal{E}}{m_pc^2+\mathcal{E}}\,\alpha_p. \]Подстановка: первый множитель \((0{,}5+1)/(1+1)=0{,}75\), второй \(\approx2\), но аккуратно \((1876+1)/(938+1)\approx2{,}00\), и ещё отношение скоростей/импульсов собрано так, что численно
\[ \alpha_e\simeq0{,}075\ \text{рад}. \]Электрон отклоняется меньше: при той же кинетической энергии он быстрее, меньше времени в поле, и хотя импульс у него меньше, выигрыш по \(p\) не покрывает проигрыш по времени пролёта.