При какой минимальной разности потенциалов в плоском конденсаторе электроны, ускоренные потенциалом \(U=1\) МВ, влетающие в конденсатор через небольшое отверстие в нижней пластине под углом \(\alpha=30^\circ\) к ней, не долетают до верхней пластины?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
До входа электроны ускорены потенциалом \(U=1\) МВ, полная энергия \(\varepsilon=eU+m_ec^2\). Угол к пластине \(\alpha=30^\circ\): параллельная пластинам компонента импульса \(p_\parallel=p\cos\alpha\), поперечная \(p_\perp=p\sin\alpha\), где \(pc=\sqrt{\varepsilon^2-(m_ec^2)^2}\).
Между пластинами сила поперечна, \(p_\parallel\) не меняется. Чтобы электрон только-только не коснулся верхней пластины (или коснулся, остановившись поперёк), наверху \(p_\perp=0\). Тогда энергия там
\[ \varepsilon'=\sqrt{(p_\parallel c)^2+(m_ec^2)^2}=\sqrt{\varepsilon^2\cos^2\alpha+(m_ec^2)^2\sin^2\alpha}. \]Работа поля \(eV=\varepsilon-\varepsilon'\):
\[ V=U+\frac{m_ec^2}{e}-\frac{1}{e}\sqrt{(eU+m_ec^2)^2\cos^2\alpha+(m_ec^2)^2\sin^2\alpha}. \]Числа: \(eU=1\) МэВ, \(m_ec^2=0{,}511\) МэВ, \(\varepsilon=1{,}511\) МэВ, \(\cos^230^\circ=3/4\), \(\sin^2=1/4\):
\[ \varepsilon'=\sqrt{1{,}511^2\cdot0{,}75+0{,}511^2\cdot0{,}25}=\sqrt{1{,}712+0{,}065}=1{,}333\ \text{МэВ}, \] \[ V=0{,}178\ \text{МВ}\approx180\ \text{кВ}. \]В книге набор формулы скомкан (\(v_1=v/\sin^2\alpha+\ldots\)); физически ответ — эта разность энергий.