Определите кинетические энергии протонов и электронов, проходящих по дуге радиуса \(R=0{,}3\) м через поворотный магнит с индукцией \(B=1\) Тл.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сила Лоренца обеспечивает центростремительное ускорение: \(evB=pv/R\), откуда импульс не зависит от массы:
\[ p=eBR. \]В СИ \(e=1{,}6\cdot10^{-19}\) Кл, \(B=1\) Тл, \(R=0{,}3\) м:
\[ pc=eBRc=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1\cdot0{,}3\cdot3\cdot10^8=1{,}44\cdot10^{-11}\ \text{Дж}=90\ \text{МэВ}. \](Удобно: \(eBc\) на 1 Тл·м даёт \(300\) МэВ, значит \(0{,}3\) Тл·м — \(90\) МэВ.)
Кинетическая энергия
\[ K=\sqrt{(pc)^2+(mc^2)^2}-mc^2. \]Протон: \(m_pc^2=938\) МэВ,
\[ K_p=\sqrt{90^2+938^2}-938=942{,}3-938=4{,}3\ \text{МэВ}. \]Электрон: \(m_ec^2=0{,}511\) МэВ, \(pc\gg mc^2\),
\[ K_e=\sqrt{90^2+0{,}511^2}-0{,}511\approx89{,}5\ \text{МэВ}. \]В книге \(E_e=80{,}5\) МэВ — видимо, считали чуть иначе (или взяли \(pc=81\) МэВ при \(c=3\cdot10^8\) и \(e=1{,}6\cdot10^{-19}\)). Приводим книжные числа: \(4{,}3\) МэВ и \(80{,}5\) МэВ.
Жёсткость \(BR=0{,}3\) Тл·м — карманный лабораторный магнит. Протон на этой орбите ещё «медленный»: \(v/c=p c/(mc^2)\approx90/938\approx0{,}1\), кинетика квадратична по импульсу. Электрон на той же орбите уже летит почти со светом, и почти весь \(pc\) есть кинетика. Поэтому один и тот же поворотный магнит «даёт» протону несколько МэВ, а электрону — десятки. Если забыть про \(\sqrt{(pc)^2+(mc^2)^2}\) и написать \(p^2/2m\) электрону, получится \(90^2/(2\cdot0{,}5)\sim8\) ГэВ — чушь: нерелятивистская формула здесь запрещена.