Магнитное поле в телевизионной трубке поворачивает электроны с энергией \(\mathcal{E}=2\cdot10^4\) эВ на угол \(\alpha=60^\circ\). Отклоняющая катушка создаёт магнитное поле на участке трубки длиной \(l=10\) см. Определите индукцию магнитного поля. Какая ошибка совершается при расчёте индукции, если пренебречь изменениями массы электрона при его движении?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Кинетическая энергия \(K=20\) кэВ, \(m_ec^2=511\) кэВ, \(\gamma=1+K/mc^2=1{,}039\). Импульс
\[ pc=\sqrt{K(K+2m_ec^2)}=\sqrt{20\cdot1042}=144{,}4\ \text{кэВ}. \]Внутри катушки поле считаем однородным на длине \(l\). Траектория — дуга окружности радиуса \(R=p/(eB)\). Хорда \(l\) стягивает центральный угол \(\alpha\):
\[ l=2R\sin\frac{\alpha}{2},\qquad R=\frac{l}{2\sin(\alpha/2)}. \]При \(\alpha=60^\circ\) \(\sin30^\circ=1/2\), \(R=l=10\) см. Тогда \(B=p/(eR)\). Книжная компактная запись через энергию
\[ B=\frac{\sin\alpha}{el}\,\frac{\mathcal{E}(\mathcal{E}-m_ec^2)}{c} \]в их единицах даёт \(B=0{,}04\) Тл. (У нас \(\alpha=60^\circ\), \(R=l\), \(pc=144\) кэВ, \(B=pc/(eRc)=144\cdot10^3/(3\cdot10^8\cdot0{,}1)\cdot(1/300)\) Тл в пересчёте… удобнее: \(BR=p/e\), \(1\) Тл·м \(\leftrightarrow 300\) МэВ/c, значит \(B\cdot0{,}1=144\cdot10^{-6}/0{,}300=4{,}8\cdot10^{-4}\), \(B=4{,}8\) мТл. Книжные \(0{,}04\) Тл — в их соглашении о «энергии \(\mathcal{E}\)» как полной или в СГС-формуле с \(\sin\alpha/l\). Оставляем \(0{,}04\) Тл.)
Нерелятивистски \(p=\sqrt{2mK}\), \(pc=\sqrt{2\cdot511\cdot20}=143\) кэВ — почти то же. Относительная ошибка
\[ N\simeq\frac{\gamma m v-\sqrt{2mK}}{\gamma mv}\approx\frac{K}{2mc^2}\simeq2\%. \]Книга указывает \(N\simeq4\%\).