Каким должен быть радиус кольцевого накопителя с магнитным полем индукции \(B=1\) Тл, предназначенного для накопления протонов с энергией \(\mathcal{E}=10^{11}\) эВ? для накопления электронов с энергией \(\mathcal{E}=10^{11}\) эВ?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В накопителе \(p=eBR\), полная энергия \(\mathcal{E}=\sqrt{(pc)^2+(mc^2)^2}\), поэтому
\[ R=\frac{1}{eB}\sqrt{\mathcal{E}^2-(mc^2)^2}. \]\(\mathcal{E}=10^{11}\) эВ \(=100\) ГэВ. У протона \(m_pc^2=0{,}938\) ГэВ, у электрона \(0{,}511\) МэВ — оба много меньше \(100\) ГэВ. Тогда \(R\simeq\mathcal{E}/(eBc)\).
Правило: \(B=1\) Тл даёт \(300\) МэВ на метр, то есть \(0{,}3\) ГэВ/м. На \(100\) ГэВ нужно
\[ R=\frac{100}{0{,}3}\ \text{м}\approx333\ \text{м}=\frac13\ \text{км}. \]Поправка \((mc^2/\mathcal{E})^2/2\) для протона \(4\cdot10^{-5}\), для электрона ещё меньше. Книга: \(R_p=R_e=1/3\) км.
Одинаковый радиус у протона и электрона на \(100\) ГэВ — урок ультрарелятивизма: \(R=\mathcal{E}/(eBc)\) больше не содержит массы. Масса проявляется только в синхротронном излучении (электрон светит в \((m_p/m_e)^4\) раз сильнее) и в том, как долго разгонять. Геометрия кольца от этого не зависит. Поправка \(\sqrt{1-(mc^2/\mathcal{E})^2}\) для протона \(1-4\cdot10^{-5}\), на треть километра это сантиметры.