Определите циклотронную частоту электрона, ускоренного разностью потенциалов \(U=2\cdot10^6\) В, в магнитном поле индукции \(B=10\) Тл.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В однородном \(\vec B\) электрон идёт по окружности (скорость перпендикулярна полю). Радиус \(R=p/(eB)=\gamma m_ev/(eB)\), угловая частота
\[ \omega=\frac{v}{R}=\frac{eB}{\gamma m_e}. \]После прохождения разности потенциалов \(U\) кинетическая энергия \(eU\), полная \(\gamma m_ec^2=m_ec^2+eU\), поэтому
\[ \gamma=1+\frac{eU}{m_ec^2},\qquad \omega=\frac{eB}{m_ec\bigl(1+eU/m_ec^2\bigr)}\cdot c. \]В книге (смесь СГС/СИ в записи) \(\omega=eB\big/\big[m_ec(1+eU/m_ec^2)\big]\). Числа: \(eU=2\) МэВ, \(m_ec^2=0{,}511\) МэВ, \(\gamma\approx4{,}91\). Нерелятивистская циклотронная частота при \(10\) Тл огромна: \(eB/m_e\approx1{,}8\cdot10^{12}\) с\(^{-1}\); релятивистская в \(\gamma\) раз меньше.
Численно \(B=10\) Тл — поле современных сверхпроводящих магнитов, \(U=2\) МВ — типичный электростатический ускоритель. \(\gamma\approx5\), циклотронная частота в пять раз ниже нерелятивистской \(eB/m_e\). Именно поэтому классический циклотрон «захлёбывается» уже на десятках МэВ: частицы перестают попадать в такт с щелью дуантов. Синхроциклотрон и синхротрон меняют частоту или поле, чтобы удержать \(\omega=eB/(\gamma m)\).