Чему равна индукция магнитного поля на накопительных дорожках радиуса \(R=6\) м, если масса электронов, движущихся по этим дорожкам, в \(N=1000\) раз больше \(m_e\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
«Масса электронов в \(N\) раз больше \(m_e\)» в языке книги — полевая (лоренцева) масса \(\gamma m_e=Nm_e\), \(\gamma=N=1000\). Скорость почти световая: \(\beta=\sqrt{1-1/N^2}\). Импульс
\[ p=\gamma m_e\beta c=m_ec\sqrt{N^2-1}. \]На окружности \(p=eBR\), поэтому
\[ B=\frac{m_ec^2}{eRc}\sqrt{N^2-1}=\frac{m_ec^2\sqrt{N^2-1}}{eR}. \]В книге набрано \(B=m_ec^2\big/\big(eR\sqrt{N^2-1}\big)\) — перевёрнут корень; правильная размерность и предел \(N\to\infty\) требуют \(\sqrt{N^2-1}\) в числителе. Численно \(m_ec^2=0{,}511\) МэВ, \(R=6\) м, \(eBc\) даёт \(300\) МэВ на Тл·м:
\[ B=\frac{0{,}511\cdot1000}{300\cdot6}\ \text{Тл}\approx0{,}28\ \text{Тл}. \]Число книги \(0{,}28\) Тл как раз от формулы с корнем в числителе. Пишем
\[ B=\frac{m_ec^2\sqrt{N^2-1}}{eR}=0{,}28\ \text{Тл}. \]Накопитель на \(R=6\) м и \(\gamma=1000\) — это электронное кольцо на \(511\) МэВ. Поле \(0{,}28\) Тл легко даёт обычный тёплый магнит, без сверхпроводника. Если в формуле перевернуть корень, получится \(B\sim3\cdot10^{-4}\) Тл — поле Земли, на котором \(511\) МэВ не удержать: радиус был бы километры. Поэтому корень стоит в числителе, и книжное число \(0{,}28\) Тл это подтверждает.