Во сколько раз ускорение протона, движущегося перпендикулярно электрическому полю со скоростью \(\beta c\), больше ускорения протона, движущегося с той же скоростью по полю? под углом \(\alpha\) к полю?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Релятивистское уравнение движения: \(\mathrm{d}(\gamma m\vec v)/\mathrm{d}t=q\vec E\). Разложим ускорение на продольное и поперечное относительно \(\vec v\).
Если \(\vec v\perp\vec E\), работа в первый момент нуль, \(\gamma\) не меняется, и
\[ a_\perp=\frac{qE}{\gamma m}. \]Если \(\vec v\parallel\vec E\), меняется и скорость, и \(\gamma\). Дифференцируя \(p=\gamma mv\), получаем \(m\gamma^3 a=qE\), то есть
\[ a_\parallel=\frac{qE}{\gamma^3 m}. \]Отношение «поперёк» к «вдоль»:
\[ \frac{a_\perp}{a_\parallel}=\gamma^2=\frac{1}{1-\beta^2}. \]Под углом \(\alpha\) к полю: составляющая силы вдоль скорости \(qE\cos\alpha\) даёт \(a_\parallel=qE\cos\alpha/(\gamma^3 m)\), поперёк — \(a_\perp=qE\sin\alpha/(\gamma m)\). Полное ускорение
\[ a=\frac{qE}{\gamma^3 m}\sqrt{\cos^2\alpha+\gamma^4\sin^2\alpha}. \]Отношение к чисто продольному \(a_\parallel(\alpha=0)\):
\[ \frac{a}{a_\parallel(0)}=\sqrt{\sin^2\alpha+\frac{\cos^2\alpha}{(1-\beta^2)^2}}. \]Именно так записано в книге (под корнем \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha/(1-\beta^2)^2\)).