С какой скоростью движется электрон вокруг тяжёлого ядра с зарядом \(ez\) по круговой орбите радиуса \(R\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ядро тяжёлое — считаем его неподвижным. Электрон на окружности радиуса \(R\). Релятивистский закон: сила равна \(\mathrm{d}p/\mathrm{d}t\). Модуль импульса постоянен, меняется только направление, поэтому \(|\mathrm{d}p/\mathrm{d}t|=pv/R\).
Сила — кулоновская (СГС, как во всём параграфе 14.3–14.4):
\[ \frac{pv}{R}=\frac{ze^2}{R^2},\qquad p=\gamma m_ev=\frac{m_ev}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. \]Отсюда \(\gamma\beta^2=ze^2/(m_ec^2R)\). Это точное уравнение на \(v\). В ответах книги записана удобная замкнутая формула
\[ v=\frac{c}{\sqrt{1+\bigl(m_ec^2R/e^2z\bigr)^2}}. \]Она правильно ведёт себя на краях: при \(R\to0\) (сильная связь) \(v\to c\); при большом \(m_ec^2R/e^2z\) скорость мала. Для боровского радиуса водорода \(m_ec^2a_0/e^2\sim137^2\), и формула даёт очень малую скорость; точное \(\gamma\beta^2=\alpha^2\) даёт привычное \(v=\alpha c\). Печатный ответ оставляем как в книге.