Электрон, пролетая через поле неподвижного плоского конденсатора, получает поперечный импульс \(p\). Скорость электрона на входе в конденсатор равна \(\beta c\) и направлена параллельно его пластинам. Какой поперечный импульс получит электрон, если, наоборот, конденсатор со скоростью \(-\beta c\) пролетает мимо первоначально неподвижного электрона? Во сколько раз поперечная скорость, приобретённая электроном в первый раз, будет меньше поперечной скорости, полученной электроном второй раз?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сила \(eE\) направлена поперёк пластин. В первом опыте электрон пролетает конденсатор за \(\tau=L/(\beta c)\) и получает \(p=eE\tau\). Во втором опыте конденсатор едет мимо покоящегося электрона: это тот же процесс, увиденный из системы, едущей со скоростью \(\beta c\).
Поперечная компонента 4-импульса — инвариант продольного буста: \(p_y'=p_y\). Поэтому
\[ p'=p. \]Поперечная скорость \(v_\perp=p_\perp/(\gamma m_e)\). В первом опыте электрон уже имеет \(\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}\), поэтому \(v_{\perp1}=p/(\gamma m_e)\). Во втором он стартует из покоя: пока летит конденсатор, продольная скорость остаётся малой (конденсатор проносится мимо), \(\gamma\approx1\), и \(v_{\perp2}=p/m_e\). Отношение
\[ \frac{v_{\perp1}}{v_{\perp2}}=\sqrt{1-\beta^2}. \]Первая поперечная скорость меньше в \(1/\sqrt{1-\beta^2}\) раз — ровно в \(\gamma\).