На неподвижный электрон налетает со скоростью света продольное электрическое поле напряжённости \(E\). Как глубоко проникнет электрон в это поле, если оно действует на электрон в направлении своего движения?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Это предельный случай 14.4.11: поле едет со скоростью \(u\to c\), электрон сначала покоится, сила направлена туда же, куда бежит поле. Электрон разгоняется «вдогонку» полю.
В системе, где поле почти покоится, электрон влетает почти со скоростью света и тормозится (или разгоняется — в зависимости от знака). Удобнее остаться в лаборатории. Работа поля на пути \(x\) равна набранной кинетической энергии \((\gamma-1)m_ec^2=eEx\). Но поле само уходит: пока электрон набирает скорость, фронт убегает вперёд со скоростью \(c\), а электрон — всегда медленнее \(c\). Относительная скорость поля и электрона всегда равна \(c\) (свет не догнать), и интеграл даёт конечную глубину проникновения.
Аккуратно: взять поле со скоростью \(u\), найти глубину как в 14.4.11б
\[ l'=\frac{m_e}{eE}\bigl(1-\sqrt{1-u^2/c^2}\bigr)c^2 \]и устремить \(u\to c\). Получаем
\[ x=\frac{m_ec^2}{eE}. \]Это путь, на котором покоящийся электрон в стоячем поле набрал бы энергию покоя: \(\gamma=2\), \(v=c\sqrt{3}/2\). Дальше в световом пределе поле уже почти не обгоняет электрон.