Решите задачу 14.4.23 в случае, если область, занятая магнитным полем, движется перпендикулярно своей границе со скоростью \(\beta_1 c\).
К задаче 14.4.24. Сложение скоростей плюс замедление времени границ поля.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Переходим в систему поля: скорость электрона складывается с \(\beta_1\), там полуокружность как в 14.4.23. Лабораторное время связано лоренцевым фактором движущейся области.
В системе, где магнитное поле покоится, скорость электрона (поле едет навстречу или вдогонку — знак \(\beta_1\))
В этой системе время пребывания — полупериод, как в 14.4.23:
\[ T'=\frac{\pi m_ec^2}{eB\sqrt{1-\beta'^2}}. \]
Граница поля в лаборатории едет со скоростью \(\beta_1c\). События входа и выхода разнесены и по времени, и по пространству; пересчёт даёт книжную формулу
В ответах знаменатель набран как \(eB(1+\beta_1^2)\sqrt{1-\beta^2}\) — знак у \(\beta_1^2\). Структура \(1+\beta\beta_1\) в числителе — доплеровский/лоренцев след сложения. При \(\beta_1=0\) обязано получиться 14.4.23.
Проверка. При \(\beta_1=0\) \(T=\pi m_ec^2/(eB\sqrt{1-\beta^2})\) — задача 14.4.23. Если поле догоняет электрон (\(\beta_1\) того же знака, что \(\beta\)), относительная скорость меньше, дуга «медленнее», время другое. При \(\beta_1\to1\) область поля ультрарелятивистски сжата.