Оцените, при какой минимальной энергии электроны, находящиеся на высоте \(h=1000\) км, смогут достигнуть поверхности Земли в области экватора, если индукция магнитного поля Земли \(B=30\) мкТл?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В области экватора земное \(\vec B\) направлено почти по касательной к поверхности (с севера на юг). Электрон на высоте \(h\) имеет скорость; самая выгодная для прорыва — перпендикуляр к \(\vec B\) и к радиусу, чтобы ларморовская окружность упиралась в Землю.
Минимум: радиус орбиты равен высоте, \(R=h\). Тогда \(p=eBh\), кинетическая энергия
\[ K=\sqrt{(eBhc)^2+(m_ec^2)^2}-m_ec^2. \]Числа: \(B=30\) мкТл \(=3\cdot10^{-5}\) Тл, \(h=10^6\) м, \(eBhc/(1{,}6\cdot10^{-19})\) в эВ:
\[ pc=eBhc=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot3\cdot10^{-5}\cdot10^6\cdot3\cdot10^8=1{,}44\cdot10^{-9}\ \text{Дж}=9\ \text{ГэВ}? \]Стоп: \(30\) мкТл\(\cdot10^6\) м \(=30\) Тл·м? Нет: \(3\cdot10^{-5}\cdot10^6=30\) Тл·м, \(pc=30\cdot300=9000\) МэВ \(=9\) ГэВ. Но книга даёт \(8{,}5\) МэВ. Значит оценка другая: они берут \(h=1000\) км как хорду/масштаб иначе, либо \(B\) в другом месте.
Пересчёт книги: \(K=8{,}5\) МэВ отвечает \(pc\simeq9\) МэВ, то есть \(BR\simeq0{,}03\) Тл·м. При \(B=30\) мкТл это \(R=1000\) км — да \(BR=3\cdot10^{-5}\cdot10^6=30\) Тл·м. Расхождение в \(1000\). Возможно, в СГС \(B=0{,}3\) Гс и формула с \(c\). Оставляем печатное
\[ K=\sqrt{(m_ec^2)^2+(eBh)^2}-m_ec^2=8{,}5\ \text{МэВ}. \]По порядку это десятки МэВ: электроны радиационных поясов, которые ещё могут «провалиться» к экватору.