Определите кинетическую энергию электрона, который движется в магнитном поле индукции \(B\) по винтовой линии радиуса \(R\) с шагом \(h\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Разложим скорость: \(v_\perp\) крутит окружность радиуса \(R\), \(v_\parallel\) несёт вдоль \(\vec B\). Как всегда, \(p_\perp=eBR\). Период оборота \(T=2\pi\gamma m_e/eB=2\pi R/v_\perp\), за период электрон проходит вдоль поля шаг \(h=v_\parallel T\), поэтому
\[ \frac{v_\parallel}{v_\perp}=\frac{h}{2\pi R},\qquad \frac{p_\parallel}{p_\perp}=\frac{h}{2\pi R}. \]Полный импульс
\[ p=p_\perp\sqrt{1+\Bigl(\frac{h}{2\pi R}\Bigr)^2}=eBR\sqrt{1+\Bigl(\frac{h}{2\pi R}\Bigr)^2}. \]Кинетическая энергия
\[ K=\sqrt{(m_ec^2)^2+(pc)^2}-m_ec^2=\sqrt{(m_ec^2)^2+(eBR)^2\bigl[1+(h/2\pi R)^2\bigr]}-m_ec^2. \]В книге квадрат \((eBR)\) уже включает \(c\) в их единицах — вид тот же.
Шаг винта — это «продольная длина волны» траектории. Отношение \(h/(2\pi R)=v_\parallel/v_\perp=\operatorname{ctg}\theta\), где \(\theta\) — питч-угол к полю. В радиационных поясах и в токамаке частицы с малым \(\theta\) (большой шаг) убегают вдоль поля, с большим \(\theta\) — зеркально отражаются. Энергия зависит только от полного \(p\), а как он разрезан на \(\perp\) и \(\parallel\), читается с \(R\) и \(h\).