Савченко · Глава 14. Специальная теория относительности · § 14.4. Движение релятивистских частиц в электрическом и магнитном полях

Савченко, задача 14.4.29

↑ задача в главе

Задача 14.4.29макс. скорость в скрещенных полях

Условие

Чему равна максимальная скорость заряженной частицы в скрещенном электрическом и магнитном полях \(\vec E\) и \(\vec B\) (\(\vec E\perp\vec B\)), если минимальная скорость равна \(\beta c\)? \(\beta>k=E/B\).

К задаче 14.4.29. В системе дрейфа скорость постоянна по модулю; в лаборатории она качается от \(\beta c\) до \(v_{\max}\).

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея В системе дрейфа (\(k=E/B\)) частица крутится с постоянной скоростью \(\beta_1 c\). Лабораторные max и min — сложение \(\beta_1\) с \(k\) «туда» и «обратно». Зная min \(=\beta c\), находим \(\beta_1\) и затем max.

Пусть \(k=E/B<1\). Буст со скоростью \(kc\) убивает \(\vec E\). В этой системе частица вращается с некоторой скоростью \(\beta_1 c\). Обратный буст складывает \(\beta_1\) с \(k\):

\[ v_{\max}=c\frac{\beta_1+k}{1+\beta_1 k},\qquad v_{\min}=c\frac{\beta_1-k}{1-\beta_1 k}. \]

По условию \(v_{\min}=\beta c\), причём \(\beta>k\) (иначе минимума «против дрейфа» нет — частица никогда не идёт назад). Отсюда

\[ \beta=\frac{\beta_1-k}{1-\beta_1 k},\qquad \beta_1=\frac{\beta+k}{1+\beta k}. \]

Подставляем в \(v_{\max}\):

\[ v_{\max}=c\,\frac{2k+(1+k^2)\beta}{1+k^2+2k\beta}. \]

Так в книге. (Эквивалентно: два сложения подряд, \(k\) туда и \(k\) обратно, дают тождество для тангенса гиперболического быстроты.)

Проверка. При \(k=0\) (нет \(E\)) \(v_{\max}=\beta c=v_{\min}\): чистая окружность. При \(\beta\to1\) и \(k\) фиксированном \(v_{\max}\to c\). При \(\beta\to k^+\) минимум почти нуль, частица в лабе почти останавливается в нижней точке циклоиды, \(v_{\max}\to 2kc/(1+k^2)\).

Ответ\(v_{\max}=c[2k+(1+k^2)\beta]/(1+k^2+2k\beta)\), \(k=E/B\).

Следующая задача 14.4.30 →