Савченко · Глава 14. Специальная теория относительности · § 14.4. Движение релятивистских частиц в электрическом и магнитном полях

Савченко, задача 14.4.31

↑ задача в главе

Задача 14.4.31включили E вдоль скорости в B
Условие

Электрон вращается в постоянном магнитном поле индукции \(B\), имея скорость \(\vec\beta c\). Включается электрическое поле \(\vec E\) параллельно вектору скорости \(\vec\beta c\). Определите максимальную скорость электрона, которую он приобретает в скрещенном поле.

E включили B ⊗, было βc β = дрейф k + вращение β₁; v_max = c(β₁+k)/(1+β₁k)
К задаче 14.4.31. В момент включения скорость — сумма дрейфа и вращения; max — когда они сонаправлены.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея После включения полей \(\vec E\perp\vec B\) (скорость была перпендикулярна \(B\), \(E\) вдоль скорости — значит \(E\perp B\)). В системе дрейфа электрон крутится. Лабораторная скорость качается; максимум — сложение \(\beta_1\) с \(k=E/B\).

До включения электрон крутился в чистом \(B\) со скоростью \(\beta c\). \(E\) включают вдоль мгновенной скорости: теперь есть скрещенные \(E\) и \(B\), \(k=E/B\).

В системе дрейфа (скорость \(kc\) поперёк обоих полей) электрическое поле исчезает. Скорость электрона в момент включения в лаборатории была \(\beta c\) вдоль \(E\), то есть перпендикулярна дрейфу. Вычитая дрейф (релятивистски), находим вращательную скорость \(\beta_1\) в системе дрейфа. Книга:

\[ \beta_1=\sqrt{\beta^2(1-k^2)+k^2}. \]

(Это модуль разности \(\vec\beta-\vec k\) с лоренцевой поправкой.) В лаборатории максимальная скорость — когда вращательная добавка сонаправлена с дрейфом:

\[ v_{\max}=c\frac{\beta_1+k}{1+\beta_1 k}. \]

Дальше электрон так и осциллирует между \(v_{\min}\) и \(v_{\max}\) по трохоиде, как в 14.4.29.

Проверка. При \(E=0\) (\(k=0\)) \(\beta_1=\beta\), \(v_{\max}=\beta c\): ничего не изменилось. При \(\beta=0\) (электрон покоился) \(\beta_1=k\), \(v_{\max}=2kc/(1+k^2)\) — обычная циклоида из покоя. При \(k\to1\) дрейф световой, \(v_{\max}\to c\).
Ответ\(\beta_1=\sqrt{\beta^2(1-k^2)+k^2}\), \(v_{\max}=c(\beta_1+k)/(1+\beta_1 k)\), \(k=E/B\).
Следующая задача 14.5.1 →
наверх оглавление