Во сколько раз изменится время движения электрона в задаче 14.4.3, если конденсатор и испущенные электроны движутся со скоростью \(u\): а) поперёк пластин? б) параллельно пластинам? Чему равны в случаях а) и б) скорости электронов на второй пластине?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В системе конденсатора электроны по-прежнему стартуют из покоя и за собственное время \(\tau\) набирают скорость \(v\) нормально к пластинам. Дальше — переход в лабораторию, где весь конденсатор едет со скоростью \(u\).
а. Поперёк пластин. Снос перпендикулярен набранной в конденсаторе скорости (конденсатор едет нормально к пластинам, а «поперёк» в условии книги соответствует геометрии, в которой \(u\) и \(v\) перпендикулярны). Времена между событиями «старт» и «финиш» растягиваются в \(\gamma_u=1/\sqrt{1-u^2/c^2}\):
\[ \frac{T}{\tau}=\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}. \]Финишная скорость — релятивистское сложение перпендикулярных \(v\) и \(u\):
\[ v'=\sqrt{v^2+u^2-\frac{v^2u^2}{c^2}}. \]б. Параллельно пластинам. Теперь \(u\) сонаправлена с разгоном. События старта и финиша разнесены вдоль скорости сноса, и в преобразовании времени появляется член \(ux/c^2\). Путь, который электрон проходит вдоль поля, пока разгоняется, связан с \(v\) и \(\tau\); после интегрирования
\[ \frac{T}{\tau}=\gamma_u\left[1+\frac{u}{v}\bigl(1-\sqrt{1-v^2/c^2}\bigr)\right]. \]Финишная скорость — параллельное сложение:
\[ v'=\frac{v+u}{1+vu/c^2}. \]