\(\pi^0\)-мезон распадается на два \(\gamma\)-кванта: \(\pi^0\to\gamma+\gamma\). Найдите кинетическую энергию \(\pi^0\)-мезона, если счётчик, расположенный по направлению его движения, регистрирует \(\gamma\)-квант с энергией \(270\) МэВ.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Масса \(\pi^0\) равна \(135\) МэВ (задача 14.5.10). В системе покоя оба фотона имеют по \(67{,}5\) МэВ и летят навстречу. В лаборатории фотон, испущенный вперёд,
\[ E=\gamma(1+\beta)\frac{m_\pi c^2}{2}=270\ \text{МэВ}. \]Значит \(\gamma(1+\beta)=270/67{,}5=4\). Но \(\gamma(1-\beta)=1/\big(\gamma(1+\beta)\big)=1/4\), потому что \(\gamma^2(1-\beta^2)=1\). Складывая,
\[ 2\gamma=4+\frac14=4{,}25,\qquad \gamma=2{,}125. \]Кинетическая энергия \(K=(\gamma-1)m_\pi c^2=1{,}125\cdot135=152\) МэВ.
Компактно: \(E_{\text{назад}}=(m_\pi c^2/2)^2/E\), полная энергия пиона \(E+E_{\text{назад}}\),
\[ K=E+\frac{(m_\pi c^2/2)^2}{E}-m_\pi c^2=\frac{(E-m_\pi c^2/2)^2}{E}=152\ \text{МэВ}. \]В книге квадрат у скобки съеден набором: написано \((E-m_{\pi}c^2/2)/E\), но число \(152\) МэВ отвечает именно квадрату.
В покое \(\pi^0\) каждый фотон несёт \(135/2=67{,}5\) МэВ. Передний в лаборатории набирает \(\gamma(1+\beta)\): \(270/67{,}5=4\), откуда \(\gamma(1-\beta)=1/4\), \(2\gamma=4{,}25\), \(\gamma=2{,}125\), \(K=(\gamma-1)m_\pi c^2=1{,}125\cdot135=152\) МэВ. Компактная запись \(K=(E-m_\pi c^2/2)^2/E\) в книге потеряла квадрат — но число \(152\) отвечает именно квадрату. Задний фотон \(67{,}5/4=16{,}9\) МэВ, сумма \(287\), минус \(135\) даёт ту же кинетику.
При \(E=67{,}5\) МэВ пион покоится, \(K=0\). При \(E\to\infty\) имеем \(K\approx E\): почти вся энергия у переднего фотона, пион ультрарелятивистский. Это продольный Доплер для \(\theta=0\); фотон назад (\(\theta=\pi\)) краснеет как \(\gamma(1-\beta)=1/[\gamma(1+\beta)]\). Та же арифметика, что у амплитуды волны в 14.3.15: множитель \(\sqrt{(1+\beta)/(1-\beta)}=\gamma(1+\beta)\).