При каких кинетических энергиях \(\pi^0\)-мезона \(\gamma\)-квант, возникающий при распаде \(\pi^0\to\gamma+\gamma\) и летящий назад, может родить электрон-позитронную пару при столкновении с тяжёлым ядром?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Тяжёлое ядро забирает импульс, энергия почти не тратится: порог \(E_\gamma=2m_ec^2\approx1{,}02\) МэВ. Задний фотон распада \(\pi^0\)
\[ E_{\text{наз}}=\gamma(1-\beta)\frac{m_\pi c^2}{2}=\frac{m_\pi c^2}{2\gamma(1+\beta)}=\frac{(m_\pi c^2)^2}{4E_{\text{вперёд}}}. \]Он тем мягче, чем быстрее пион. Условие \(E_{\text{наз}}\ge2m_ec^2\) ограничивает \(\gamma\) сверху:
\[ \gamma(1-\beta)\frac{m_\pi c^2}{2}\ge2m_ec^2. \]\(\gamma(1-\beta)=\gamma-\sqrt{\gamma^2-1}\). Решая относительно кинетической энергии \(K=(\gamma-1)m_\pi c^2\), книга даёт
\[ K<2m_ec^2\left(\frac{m_\pi}{4m_e}-1\right)^2. \]Число: \(m_\pi/m_e\approx264\), \(m_\pi/(4m_e)-1\approx65\), \(K<2\cdot0{,}51\cdot65^2\approx4{,}3\) ГэВ. Быстрее — задний фотон уже мягче \(1\) МэВ и пару на ядре не родит. (Передний, наоборот, тем жёстче, чем быстрее пион.)
На тяжёлом ядре порог пары \(E_\gamma=2m_ec^2=1{,}022\) МэВ: ядро уносит импульс, энергия почти не тратится. Задний фотон распада \(\pi^0\) имеет \(E_{\mathrm{наз}}=\gamma(1-\beta)m_\pi c^2/2\) и мягчеет с ростом \(\gamma\). Условие \(E_{\mathrm{наз}}\ge1{,}022\) МэВ ставит верхнюю границу \(K\lesssim4{,}3\) ГэВ. Покоящийся пион даёт \(67{,}5\) МэВ \(\gg1\) МэВ — пара рождается заведомо. Ультрарелятивистский — задний фотон краснеет как \(1/(2\gamma)\) и проваливается под порог.
Передний фотон, наоборот, тем жёстче, чем быстрее пион, и пару родит всегда. На свободном электроне (без ядра) порог пары выше: нужно \(E_\gamma\ge 4m_ec^2=2{,}044\) МэВ в системе электрона, а в лаборатории ещё больше. Книжная формула \(K<2m_ec^2(m_\pi/(4m_e)-1)^2\) как раз ловит границу «задний \(\gamma\) = \(2\cdot511\) кэВ». При \(\theta=\pi\) допплер минимальный, при \(\theta=0\) — максимальный.