Савченко, задача 14.5.13

Решение

Нейтрино безмассовое: \(p_\nu=E_\nu/c\). Электрон: \(p_ec=\sqrt{E_e(E_e+2m_ec^2)}\). Подстановка \(E_e=1{,}73\) МэВ, \(m_ec^2=0{,}51\) МэВ:

\[ p_ec=\sqrt{1{,}73\cdot(1{,}73+1{,}02)}=\sqrt{1{,}73\cdot2{,}75}=2{,}18\ \text{МэВ}. \]

Импульсы перпендикулярны, импульс ядра

\[ pc=\sqrt{(p_ec)^2+E_\nu^2}=\sqrt{2{,}18^2+1^2}=2{,}40\ \text{МэВ}. \]

Масса ядра \(M=3{,}9\cdot10^{-22}\) г. В энергетических единицах (как в 14.5.10) \(Mc^2=3{,}9\cdot10^{-22}/0{,}911\cdot10^{-27}\cdot0{,}51\ \text{МэВ}\approx2{,}18\cdot10^5\) МэВ \(=218\) ГэВ — ядро очень тяжёлое, \(pc\ll Mc^2\). Точная формула книги:

\[ K=Mc^2-\sqrt{(Mc^2)^2-E_e(E_e+2m_ec^2)-E_\nu^2}. \]

Это ровно \(Mc^2-\sqrt{(Mc^2)^2-(pc)^2}\). Раскладывая корень, \(K\approx(pc)^2/(2Mc^2)\approx(2{,}40)^2/(2\cdot2{,}18\cdot10^5)\approx1{,}3\cdot10^{-5}\) МэВ \(=13\) эВ — типичная отдача ядра в \(\beta\)-распаде.

Откуда формула: сохранение 4-импульса \((Mc,\vec0)=(E_e+m_ec^2+E_\nu+E_{\text{я}})/c,\;\vec p_e+\vec p_\nu+\vec p_{\text{я}}\). Исключая \(\vec p_{\text{я}}\), получаем написанный корень.

Импульс электрона из \(p_ec=\sqrt{K(K+2m_ec^2)}=\sqrt{1{,}73\cdot(1{,}73+1{,}022)}=2{,}18\) МэВ. Нейтрино безмассовое, \(p_\nu c=1\) МэВ. Прямой угол: \(pc=\sqrt{2{,}18^2+1}=2{,}40\) МэВ у ядра. Масса ядра \(Mc^2\approx218\) ГэВ \(\gg pc\), поэтому \(K\approx(pc)^2/(2Mc^2)\approx13\) эВ — типичная отдача в \(\beta\)-распаде. Точная формула книги \(Mc^2-\sqrt{(Mc^2)^2-(pc)^2}\) отличается от \(p^2/(2M)\) на величину \((pc)^4/(8M^3c^6)\sim10^{-10}\) эВ, невидимую.

Если бы нейтрино улетело вдоль электрона (\(\theta=0\)), импульсы сложились бы, отдача выросла бы до \(\sim3{,}2\) МэВ\(/c\). Если навстречу (\(\theta=\pi\)) — вычитались бы. Прямой угол — просто удобная арифметика суммы квадратов. Электрон здесь уже релятивистский: \(K=1{,}73\) МэВ \(>511\) кэВ, \(E=\gamma m_ec^2=2{,}24\) МэВ, \(\gamma\approx4{,}4\). Ядро — нет.