Масса и импульс состояния, которое получается при движении со скоростью \(v\) состояния с массой \(M\) и нулевым импульсом, равны \(\gamma M\) и \(\gamma Mv\), \(\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}\). Докажите это утверждение для состояния, в котором движутся две невзаимодействующие частицы.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть в «покое» состояния две частицы имеют импульсы \(\vec p\) и \(-\vec p\) (сумма нуль) и энергии \(\mathcal{E}_1\), \(\mathcal{E}_2\). Полная энергия \(\mathcal{E}_1+\mathcal{E}_2=Mc^2\) — это определение массы состояния. Полевые массы \(m_i=\mathcal{E}_i/c^2\), \(m_1+m_2=M\).
Сносим состояние со скоростью \(v\) вдоль выбранной оси. Каждая энергия и каждый импульс преобразуются по Лоренцу:
\[ \mathcal{E}_i'=\gamma(\mathcal{E}_i+v p_{i\parallel}),\qquad p_{i\parallel}'=\gamma\bigl(p_{i\parallel}+\tfrac{v}{c^2}\mathcal{E}_i\bigr),\qquad p_{i\perp}'=p_{i\perp}. \]Суммируя и пользуясь \(p_{1\parallel}+p_{2\parallel}=0\), \(p_{1\perp}+p_{2\perp}=0\):
\[ \mathcal{E}'=\gamma(\mathcal{E}_1+\mathcal{E}_2)=\gamma Mc^2,\qquad p_\parallel'=\gamma\frac{v}{c^2}(\mathcal{E}_1+\mathcal{E}_2)=\gamma Mv,\qquad p_\perp'=0. \]Полевая масса нового состояния \(\mathcal{E}'/c^2=\gamma M\), импульс \(\gamma Mv\). Что и требовалось: двухчастичное состояние бустится точно как одна частица массы \(M\). Взаимодействие не понадобилось — только аддитивность 4-импульса и то, что в исходной системе он чисто временной.
То же для любого числа свободных частиц. Так оправдывается само понятие «масса системы» в 14.5.
Масса системы — это инвариант \(Mc^2=\sqrt{\mathcal{E}_{\mathrm{tot}}^2-p_{\mathrm{tot}}^2c^2}\), а не сумма масс покоя. В ЦМ \(p_{\mathrm{tot}}=0\), \(\mathcal{E}_{\mathrm{tot}}=Mc^2\). Буст ЦМ со скоростью \(v\) действует на 4-импульс \((Mc,\vec0)\) как на одну частицу: \(\mathcal{E}'=\gamma Mc^2\), \(\vec p'=\gamma M\vec v\). Для двух свободных частиц это проверяется покомпонентно: поперечные импульсы сокращаются, продольные складываются в \(\gamma Mv\). Взаимодействие не понадобилось.
Скрытая кинетика «весит». Два протона по \(K=938\) МэВ навстречу имеют \(\gamma=2\), \(M=4m_p\), а не \(2m_p\): лишние \(2m_p\) — это кинетическая энергия ЦМ, делённая на \(c^2\). После общего буста эта большая масса едет как целое. При \(v\ll c\) \(\gamma\approx1+v^2/(2c^2)\), добавка к энергии \(Mv^2/2\) — обычная кинетика составного тела. Так оправдывается само понятие «масса состояния» в 14.5.