Движущаяся частица распадается на два \(\gamma\)-кванта с одинаковой массой, которые разлетаются под углом \(\alpha\) друг к другу. С какой скоростью двигалась частица?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Одинаковая масса фотонов в языке книги — одинаковая энергия \(\mathcal{E}_\gamma=mc^2\). Разлетаются под углом \(\alpha\). Импульс каждого \(mc\), векторная сумма направлена по биссектрисе и равна \(2mc\cos(\alpha/2)\). Полная энергия \(2mc^2\). Скорость родителя (он унёс весь 4-импульс)
\[ v=\frac{pc^2}{\mathcal{E}}=\frac{2mc\cdot\cos(\alpha/2)\cdot c}{2mc^2}=c\cos\frac{\alpha}{2}. \]Масса родителя \(M=\sqrt{4m^2-4m^2\cos^2(\alpha/2)}=2m\sin(\alpha/2)\) — проверка: в его системе фотоны навстречу, каждый \(Mc^2/2\).
Это же читается из аберрации: в покое фотоны улетают под \(180^\circ\); буст сжимает угол вперёд до \(\alpha\), и формула аберрации как раз даёт \(\beta=\cos(\alpha/2)\) при симметричном разлёте.
Угол \(\alpha\) — лабораторный угол между фотонами, не угол каждого с осью. Биссектриса обязана идти вдоль \(\vec v\): иначе поперечный импульс не сойдётся. Отсюда мгновенно \(v=c\cos(\alpha/2)\), без массы родителя. Масса нужна, только если спросят энергию каждого фотона: \(\mathcal{E}_\gamma=Mc^2\big/\big(2\sin(\alpha/2)\big)\). При \(\alpha=60^\circ\) родитель уже летит со скоростью \(c\sqrt{3}/2\).