Скорости двух частиц, образующихся при распаде неподвижного ядра массы \(M\), одинаковы по величине и равны \(\beta c\). Определите полную массу, массу покоя и кинетическую энергию каждой частицы.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Неподвижное ядро: \(\vec p_1+\vec p_2=0\). Скорости равны по модулю, значит равны и \(\gamma\), и энергии. Сохранение энергии:
\[ \mathcal{E}_1+\mathcal{E}_2=Mc^2,\qquad \mathcal{E}_1=\mathcal{E}_2=\frac{Mc^2}{2}. \]Полная (полевая) масса каждой частицы \(m_1=\mathcal{E}_1/c^2=M/2\). Масса покоя связана с полной через \(\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}\):
\[ m_0=\frac{m_1}{\gamma}=\frac{M}{2}\sqrt{1-\beta^2}. \]Кинетическая энергия — то, что сверх покоя:
\[ K=\mathcal{E}_1-m_0c^2=\frac{Mc^2}{2}\bigl(1-\sqrt{1-\beta^2}\bigr). \]В книге полная масса обозначена \(m_1=m/2\) (буква \(m\) вместо \(M\)).
Полная масса \(M/2\) у каждой — это не масса покоя. Покоя у них меньше в \(\gamma\) раз, и именно разность есть кинетика, которую забрал распад. Если исходное ядро чуть тяжелее суммы масс покоя осколков, \(\beta\) мало, \(K\approx M\beta^2c^2/4\) — обычный нерелятивистский дележ. Если ядро вдвое тяжелее осколков, \(\beta\) уже близок к единице, и картинка почти как у двух фотонов.