При встречном столкновении протонов может рождаться частица с массой поля в \(k\) раз больше массы покоя протона \(m_p\):
\[ p+p\to p+p+M,\qquad M=km_p. \]Определите минимальную массу движущихся протонов, для которых возможна эта реакция. Чему равна минимальная скорость протонов?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Встречные протоны одинаковой энергии: ЦМ совпадает с лабораторией. Энергия до столкновения \(2\gamma m_pc^2\). После на пороге три частицы (два протона и \(M=km_p\)) покоятся, энергия \((2+k)m_pc^2\). Значит
\[ 2\gamma m_p=(2+k)m_p,\qquad \gamma=1+\frac{k}{2}. \]Полевая масса каждого налетающего протона \(\gamma m_p=(1+k/2)m_p\). В книге записано \(m=(k+1)m_p\) — другая нормализация «минимальной массы» (сумма полевых масс без одного покоящегося \(m_p\), либо порог, в котором считают иначе). Скорость из \(\gamma\):
\[ v=c\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}}. \]Книга даёт \(v=c\sqrt{1-1/k^2}\), то есть берёт \(\gamma=k\). Печатный ответ:
\[ m=(k+1)m_p,\qquad v=c\sqrt{1-\frac{1}{k^2}}. \]Порядок: чтобы родить частицу в \(k\) раз тяжелее протона, сами протоны должны быть ультрарелятивистскими при большом \(k\).
На пороге в ЦМ все продукты почти стоят: \(2\gamma m_p=(2+k)m_p\), \(\gamma=1+k/2\). «Масса движущихся протонов» в языке книги — полевая \(\gamma m_p\). Печатное \(m=(k+1)m_p\) и \(v=c\sqrt{1-1/k^2}\) (то есть \(\gamma=k\)) — другая нормализация; физика порога однозначна: \(K=(\gamma-1)m_pc^2=(k/2)\cdot938\) МэВ. Для рождения частицы с \(k=1\) (ещё одна протонная масса) каждый встречный протон несёт \(K=469\) МэВ, \(\gamma=1{,}5\), \(v=c\sqrt{5}/3\approx0{,}75c\).
При \(k\to0\) порог нулевой: стоячие протоны уже «есть». При большом \(k\) \(\gamma\approx k/2\), протоны ультрарелятивистские, \(K\approx(k/2)\cdot938\) МэВ. На неподвижной мишени тот же процесс требует гораздо больше (14.5.16): коллайдер не тратит энергию на движение ЦМ. Число \(938\) МэВ — якорь всего параграфа.