Неподвижный атом массы \(M\) поглощает фотон массы \(m\). Определите массу и импульс атома после поглощения фотона.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
До поглощения: атом покоится, энергия \(Mc^2\), импульс \(0\); фотон — энергия \(mc^2\), импульс \(mc\). После:
\[ \mathcal{E}'=Mc^2+mc^2,\qquad p'=mc. \]Инвариантная масса возбуждённого (и движущегося) атома
\[ M_1c^2=\sqrt{\mathcal{E}'^2-p'^2c^2}=\sqrt{(M+m)^2c^4-m^2c^4}=c^2\sqrt{M^2+2Mm}. \]То есть \(M_1=\sqrt{M(M+2m)}\), чуть меньше \(M+m\). Разница — кинетика отдачи: атом не может остаться на месте, импульс фотона надо унести. В ответах книги набрано проще:
\[ M_1=M+m,\qquad p=mc, \]как если бы складывали полевые массы и не вычитали отдачу из инварианта. Для \(m\ll M\) (обычный оптический фотон) \(M_1\approx M+m-m^2/(2M)\approx M+m\), и запись книги верна с огромной точностью.
Отдача атома — та же, что в эффекте Мёссбауэра и в задаче 14.5.19. Фотон «весит» \(m\), но чтобы сохранить импульс, атом должен поехать; на это уходит \(p^2/(2M)=m^2c^2/(2M)\). Инвариантная масса растёт не на \(m\), а на \(m-m^2/(2M)\). Для гамма-линии ядра это электронвольты на фоне килоэлектронвольт, и резонансное поглощение вторым ядром срывается — пока кристалл не возьмёт импульс на себя.