Определите скорость «отдачи» неподвижного атома массы \(M\) после испускания фотона массы \(m\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
До излучения атом покоился, энергия \(Mc^2\). Фотон унёс энергию \(mc^2\) и импульс \(mc\). Атом после этого имеет
\[ \mathcal{E}_a=Mc^2-mc^2,\qquad p_a=mc. \]Скорость \(v=p_ac^2/\mathcal{E}_a\):
\[ v=\frac{mc\cdot c}{M-m}=\frac{cm}{M-m}. \]Именно так в книге. Более аккуратно инвариантная масса атома после излучения \(M'=\sqrt{(M-m)^2-m^2}=\sqrt{M^2-2Mm}\), и \(v=p c^2/\mathcal{E}\) всё равно даёт \(cm/(M-m)\), потому что \(\mathcal{E}_a=(M-m)c^2\) в их определении массы фотона как полевой.
Для оптического фотона \(m/M\sim E_\gamma/(Mc^2)\sim10^{-9}\), \(v\sim300\) м/с при \(E_\gamma\sim1\) эВ и атоме водорода — измеримая отдача, основа лазерного охлаждения.
Знак: фотон вперёд — атом назад. Формула \(v=cm/(M-m)\) при \(m\ll M\) есть \(v\approx(E_\gamma/Mc)c=E_\gamma/(Mc)\). Для натрия \(D\)-линии и \(M\sim23\) а.е.м. это десятки см/с; для ядерной линии МэВ на среднем ядре — сотни метров в секунду. Лазерное охлаждение работает как раз на этой отдаче: каждый поглощённый, а потом изотропно испущенный фотон в среднем тормозит атом.