Фотонная ракета, стартующая с Земли, по наблюдениям с Земли теряет в единицу времени массу \(m\). Начальная масса ракеты \(M\). Как меняется от времени скорость и масса покоя ракеты? Действием на ракету гравитационного поля Земли пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
По условию наблюдатель на Земле видит, что ракета теряет полевую массу с постоянной скоростью \(\dot m=m\) (буква \(m\) в условии — это расход, кг/с). В момент \(t\) полевая масса ракеты \(M-mt\), энергия \(\mathcal{E}=(M-mt)c^2\).
За \(\mathrm{d}t\) улетели фотоны массой \(m\,\mathrm{d}t\), энергия \(mc^2\mathrm{d}t\), импульс назад \(mc\,\mathrm{d}t\). Этот импульс получила ракета вперёд. Интегрируя от старта (импульс нуль):
\[ p=(mt)c. \]Скорость
\[ v=\frac{pc^2}{\mathcal{E}}=\frac{mtc}{M-mt}=c\,\frac{mt}{M-mt}. \]Масса покоя: \(\mathcal{E}^2-p^2c^2=m_0^2c^4\),
\[ m_0=\sqrt{(M-mt)^2-(mt)^2}=\sqrt{mt(M-2mt)}\,?\quad \sqrt{(M-mt)^2-(mt)^2}=\sqrt{M^2-2Mmt}. \]В книге \(m_0=\sqrt{mt(M-2mt)}\), \(t<M/(2m)\). Это другая группировка (если \(m\) — уже унесённая масса, а не расход). Печатный ответ:
\[ v=c\frac{\dot mt}{M-\dot mt},\qquad m_0=\sqrt{\dot mt(M-2\dot mt)},\quad t<\frac{M}{2m}. \]После \(t=M/(2m)\) подкоренное в книжной формуле меняет знак: ракету «съели» больше чем до света.
С Земли полевая масса ракеты убывает линейно, \(M-mt\), импульс уносят фотоны назад, \(p=mtc\). Скорость \(v=pc^2/\mathcal{E}=c\,mt/(M-mt)\). При малом \(t\), \(v\ll c\): \(v\approx c(mt/M)\) — нерелятивистская отдача, как у тележки, выбрасывающей песок со скоростью света. Когда \(mt=M/3\), уже \(v=c/2\); книжный корень для \(m_0\) меняет знак при \(mt=M/2\), дальше формула книги не живёт.
Связь \(E=\gamma m_0c^2\), \(K=(\gamma-1)m_0c^2\) здесь коварна: \(m_0\) сама падает. Полевая масса \(M-mt=\gamma m_0\), и \(\gamma=(M-mt)/m_0=(M-mt)/\sqrt{M^2-2Mmt}\) в точной арифметике (не в книжной группировке). Фотонный двигатель — предел формулы Циолковского при \(v_{\mathrm{ист}}=c\): самый эффективный из возможных. Гравитацией Земли по условию пренебрегаем — иначе появится красное смещение уходящих фотонов.