Две частицы с массами \(m_1\) и \(m_2\), летящие со скоростями \(v_1\) и \(v_2\), направленными друг к другу под углом \(\alpha\), сливаются в одну частицу. Определите массу и скорость образовавшейся частицы.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В языке параграфа «масса» частицы — полевая, \(m=\mathcal{E}/c^2=\gamma m_0\). Тогда энергия и импульс каждой: \(\mathcal{E}_i=m_ic^2\), \(\vec p_i=m_i\vec v_i\). После слияния
\[ M=m_1+m_2,\qquad \vec p=m_1\vec v_1+m_2\vec v_2. \]Модуль импульса при угле \(\alpha\) между скоростями:
\[ p=\sqrt{(m_1v_1)^2+(m_2v_2)^2+2m_1m_2v_1v_2\cos\alpha}. \]Скорость составной частицы \(v=pc^2/\mathcal{E}=p/M\):
\[ v=\frac{\sqrt{(m_1v_1)^2+(m_2v_2)^2+2m_1m_2v_1v_2\cos\alpha}}{m_1+m_2}. \]Это буквально ответ книги. (Если \(m_i\) понимать как массы покоя, надо было бы писать \(\gamma_i m_i\) и инвариант \(M_0c^2=\sqrt{(\sum\mathcal{E})^2-(\sum\vec p)^2c^2}\). В постановке 14.5 массы — полевые.)
В языке параграфа массы — полевые, \(m_i=\mathcal{E}_i/c^2=\gamma_i m_{0i}\). Поэтому они просто складываются, \(M=m_1+m_2\), а скорость читается из суммы импульсов. При \(\alpha=0\) и \(v_1=v_2=v\) составная частица едет с той же \(v\): оба уже летели вместе. При \(\alpha=\pi\) и \(m_1v_1=m_2v_2\) суммарный импульс нуль, \(v=0\): вся кинетика ушла в массу покоя, \(M_0c^2=\mathcal{E}_1+\mathcal{E}_2>(m_{01}+m_{02})c^2\).
Если понимать \(m_i\) как массы покоя, надо писать \(\gamma_i m_i\) и инвариант \(M_0c^2=\sqrt{(\sum\mathcal{E})^2-(\sum\vec p)^2c^2}\). Для нерелятивистских капель (\(v\ll c\)) разница между полевой и покоящейся массой есть \(K/c^2\), ничтожная; для фотонов (\(m_0=0\)) полевая масса — единственная, что есть. Угол \(\alpha=\pi/2\) даёт \(p=\sqrt{(m_1v_1)^2+(m_2v_2)^2}\), без удвоенного произведения.