Дифференциальные уравнения

В электрической цепи, схема которой приведена на рисунке, вначале один из конденсаторов заряжен до напряжения \(U_0 = 10\) В, а второй не заряжен. Ключ замыкают. Определите модуль скорости изменения силы тока \(\left|\dfrac{di}{dt}\right|\) в цепи в момент, когда энергия, запасенная в катушке, равна половине энергии запасенной в конденсаторах. Индуктивность катушки \(L = 57{,}7\) мГн.

В десятилитровую кастрюлю налили 2 л холодной воды при температуре \(15^\circ\)C, а затем поставили её на нагретую работающую электроплиту. За 5 мин температура воды поднялась до \(45^\circ\)C. Затем в кастрюлю начали медленно подливать холодную воду (с температурой \(15^\circ\)C), постоянно перемешивая содержимое кастрюли. Тепловыми потерями и теплоёмкостью кастрюли можно пренебречь.

1. С какой постоянной скоростью нужно было бы подливать воду в кастрюлю, чтобы температура воды в ней при этом не менялась? Ответ выразите в см\(^3\)/мин, округлите до целых.

2. В кастрюлю подливают воду с постоянной скоростью 100 см\(^3\)/мин. Через сколько времени содержимое кастрюли закипит после того, как начали подливать воду? Ответ выразите в мин, округлите до десятых.

В схеме, показанной на рисунке, ключ \(K\) изначально разомкнут, конденсатор ёмкостью \(C = 100\) мкФ заряжен, а конденсатор ёмкостью \(3C\) не заряжен, ток в цепи равен нулю. Другие параметры схемы равны: \(R_1 = 10\) МОм, \(R_2 = 10\) Ом, \(\mathcal{E} = 12\) В. Внутренним сопротивлением источника и сопротивлением проводов можно пренебречь.

Ключ замыкают. Определите токи \(i_1\) и \(i_2\), текущие через резисторы \(R_1\) и \(R_2\) соответственно, через одну секунду после замыкания ключа.

Герметично закрытый с обоих концов теплоизолированный цилиндр расположен горизонтально. Внутри цилиндра находится непроводящий тепло легкий вертикальный поршень площадью \(S\), делящий цилиндр на два отсека. Поршень может перемещаться внутри цилиндра без трения. Отсеки заполнены идеальным одноатомным газом при давлении \(p_0\). В первый отсек помещён нагреватель, по которому может поступать тепло, во втором отсеке размещён теплообменник, с помощью которого тепло отводится из отсека. Модули мощностей подвода и отвода тепла равны \(q_1\) и \(q_2\) соответственно. Нагреватель и теплообменник приводят в действие одновременно.

В пунктах 1 и 2 считайте, что первоначальные объёмы отсеков равны.

1. Определите скорость перемещения поршня в начальный момент времени, сразу после включения нагревателя и теплообменника.

2. Определите скорость перемещения поршня в момент времени, когда поршень делит объём цилиндра в отношении \(2:1\), если модули мощностей \(q_1\) и \(q_2\) одинаковы и равны \(q\).

3. Пусть в начальный момент времени поршень делит объём цилиндра в отношении \(3:1\), а во втором (меньшем) отсеке вместо теплообменника установлен нагреватель мощности \(q_2\). Определите отношение \(q_2/q_1\), при котором поршень останется неподвижным.

Все процессы считать равновесными.

В теплоизолированном цилиндре, расположенном горизонтально, лёгкий, хорошо проводящий тепло поршень делит объём на две равные части, каждая объёмом \(V_0\). В обеих частях находится один и тот же одноатомный идеальный газ при начальном давлении \(p_0\) и температурах \(2T_0\) и \(T_0\) (см. рисунок). Теплоёмкостью поршня можно пренебречь.

Мощность теплообмена между частями цилиндра пропорциональна разности температур: \(P = \alpha(T_1 - T_2)\), где \(\alpha\) – коэффициент теплопередачи, \(T_1\) – температура в левой части, \(T_2\) – в правой. В процессе установления равновесия поршень медленно перемещается без трения о стенки цилиндра.

1. Найдите конечную температуру содержимого цилиндра.

2. Найдите время, в течение которого разность температур между частями цилиндра уменьшается в \(e\) раз по сравнению с начальной разностью температур \(T_0\).

3. Найдите зависимость объёма левой части цилиндра от времени \(V_1(t)\).

Однородный прямоугольный брусок скользит со скоростью \(v_0 = 1{,}4\) м/с, направленной вдоль его более длинных сторон (длиной \(L = 20\) см), по гладкой горизонтальной поверхности. В некоторый момент времени он встречает границу очень обширной шероховатой области, перпендикулярную направлению его движения. За какое время после этого он остановится? Считайте, что сила трения для части бруска, находящейся на шероховатой поверхности, пропорциональна площади этой части, а коэффициент трения для бруска, полностью находящегося в шероховатой области, \(\mu = 0{,}25\). Ускорение свободного падения следует принять равным \(g \approx 9{,}8\text{ м/с}^2\). Ответ выразите в сотых долях секунды (сантисекундах) и округлите до целого значения.

В последние годы большой интерес у энтузиастов, занимающихся научно-техническим творчеством, вызывает устройство под названием «вакуумная пушка». В полипропиленовой водопроводной трубе 2 (см. рисунок ниже), один конец которой герметично закрыт заглушкой из фольги 3, а другой открыт в атмосферу, разностью давлений ускоряется шарик 1 для игры в пинг-понг. Внутренний диаметр трубы близок к диаметру шарика. Рядом с заглушкой располагается штуцер 4, через который труба соединяется с вакуумным насосом. Таким образом, справа от шарика давление очень низкое, а у открытого конца трубки — давление, близкое к атмосферному, которое равно \(P_0\).

Оказывается, что при достаточно большой длине трубки и качественной откачке, шарик можно разогнать до высокой скорости, так что он легко разорвёт фольгу заглушки и вылетит из трубки. В одном видеоролике, доступном в сети, демонстрируется, как вылетающий из трубки шарик пробивает пустые банки из-под газировки, поставленные на небольшом расстоянии от трубки.

1. В самой грубой модели предполагается, что слева от шарика давление равно \(P_0 = 10^5\) Па, а справа — равно нулю. Разность давлений не меняется в процессе разгона шарика. Трения между шариком и стенками трубы нет. До какой максимальной скорости \(v_{\max}^{(1)}\) может быть разогнан шарик массой \(M = 2{,}7\) г и диаметром \(d = 40\) мм в трубе длиной \(L = 2\) м? (1 балл)

В более точной модели считается, что под действием постоянной разности давлений ускоряется не только шарик, но и воздух массой \(m(t)\), располагающийся в момент \(t\) в трубе слева от шарика, а также вовлекаются в движение новые порции воздуха из атмосферы. Предлагается считать, что область вблизи левого торца трубы, в которой воздух вовлекается в движение, имеет малый характерный размер, сопоставимый с диаметром трубы. Снаружи трубы вне этой области воздух остаётся неподвижным. Внутри трубы воздух движется со скоростью шарика, а его плотность равна плотности воздуха \(\rho\) снаружи. Диаметр шарика много меньше длины трубы. В начальный момент времени координата \(x\) шарика и его скорость равны нулю.

2. Определите более точное значение скорости \(v_{\max}^{(2)}\), до которой может быть разогнан шарик тех же размеров, что и в п. 1) задачи, в трубе той же длины. Время разгона в первом приближении можно считать равным времени разгона в п. 1). Температура воздуха и его молярная масса равны: \(T_0 = 293\) К, \(\mu = 29\) г/моль соответственно. (3 балла)

3. Считая известными только температуру \(T_0 = 293\) К снаружи трубы и молярную массу воздуха \(\mu = 29\) г/моль, определите максимальную скорость, до которой может быть разогнан шарик. Длина трубы предполагается достаточно большой. (3 балла)

4. Даны параметры: \(M\), \(S\), \(P_0\), \(\rho\), \(\mu\). Получите формулу зависимости координаты шарика от времени \(x(t)\). (5 баллов)

Интересно, что группа из американского университета Пёрдью, немного усложнив конструкцию, сумела разогнать шарик до сверхзвуковой скорости (\(v \approx 420\) м/с, в М \(= 1{,}23\) раза больше скорости звука), так что после вылета из трубки шарик для настольного тенниса пробил ракетку для настольного тенниса. Видео можно найти в сети по фразе: «Purdue Technology students build supersonic ping pong gun». В усовершенствованной конструкции на левом конце трубки имеется баллон со сжатым воздухом и сопло Лаваля, через которое воздух поступает в «ствол пушки».

Две плоские металлические пластины площадью \(S\) располагаются параллельно друг другу в точках с координатами \(x=0\) (первая пластина) и \(x=d\) (вторая пластина) при этом \(S\gg d^2\). Ось \(OX\) перпендикулярна пластинам. Первая пластина заземлена, потенциал второй пластины равен \(-U_0\). Пространство между пластинами заполнено полупроводником, в котором носителями заряда являются частицы с зарядом \(q\) (\(q>0\)). Ток в полупроводнике — это коллективное, направленное движение этих частиц. Диэлектрическая проницаемость полупроводника равна единице. Электрическая постоянная равна \(\varepsilon_0\).

1. При больших значениях \(U_0\) движение носителей заряда определяется действием электрических сил и сил сопротивления. Можно считать, что средняя скорость движения носителей в направлении поля в точке с координатой \(x\) в пространстве между пластинами пропорциональна напряжённости в этой точке \(v(x)=\mu E(x)\), где \(\mu\) — известная константа.

   Пусть ток между пластинами установился, средняя скорость носителей \(v(x)\), плотность заряда \(\rho(x)\) и потенциал \(U(x)\) не меняются со временем. Предполагая, что потенциал зависит от координаты по степенному закону \(U(x)=Ax^{\alpha}\), определите значения постоянных \(A\) и \(\alpha\). Найдите ток между пластинами. Считайте известными значения параметров \(U_0\), \(\mu\), \(d\) и \(S\).

2. При небольших значениях \(U_0\) движение носителей обусловлено диффузией. Сила тока в этом случае удовлетворяет соотношению \[I=-S\left(\frac{\mu kT}{q}\right)\frac{d\rho}{dx},\] где \(k\) — постоянная Больцмана, \(T\) — абсолютная температура. Пусть ток между пластинами установился. Предполагая степенную зависимость потенциала от координаты \(U(x)=Bx^{\beta}\), определите значения постоянных \(B\) и \(\beta\). Найдите силу тока. Считайте известными значения параметров \(U_0\), \(\mu\), \(d\), \(q\), \(T\) и \(S\).

3. Какому сильному неравенству вида \[U_0\ll f(q,\mu,T)\] должно удовлетворять значение потенциала \(U_0\), чтобы его можно было считать небольшим, как в пункте 3b?

Коэффициент теплового расширения при постоянном давлении некоторой жидкости равен \(\alpha=\dfrac{1}{V}\cdot\dfrac{\Delta V}{\Delta T}=7{,}5\cdot10^{-4}\ \text{К}^{-1}\), сжимаемость этой жидкости при постоянной температуре равна \(\beta=-\dfrac1V\cdot\dfrac{\Delta V}{\Delta P}=1{,}1\cdot10^{-9}\ \text{Па}^{-1}\), а её молярная теплоёмкость при постоянном объёме равна \(c_V=112\) Дж/(моль\(\cdot\)К). Эти параметры можно считать постоянными в условиях данной задачи. Внутренняя энергия одного моля рассматриваемой жидкости является функцией двух переменных: молярного объёма \(V\) и температуры \(T\) и даётся формулой \[U(V,T)=A_1T+A_2V+A_3VT-pV,\] где \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) — неизвестные константы, \(V\) — молярный объём, \(p=p(V,T)\) — молярное давление, являющееся функцией тех же двух переменных \(V\) и \(T\).

1. Считая молярный объём \(V\) функцией двух переменных: молярного давления \(p\) и температуры \(T\), выразите малое изменение \(dV\) через малые изменения \(dp\) и \(dT\), а также данные в условии постоянные.

2. Определите зависимость давления от температуры \(p(T)\) в изохорном процессе, считая известным значение давления \(p_0\) при температуре \(T_0\). Ответ выразите через заданные в условии постоянные, а также параметры \(p_0\) и \(T_0\).

3. Найдите значения постоянных \(A_1\) и \(A_3\) в выражении для внутренней энергии. В этом пункте и в следующих получите числовые ответы.

4. Рассмотрев бесконечно малый цикл Карно, совершаемый с жидкостью, определите значение постоянной \(A_2\) в выражении для внутренней энергии.

5. Для температуры \(T_0=300\) К определите значение молярной теплоёмкости при постоянном давлении \(c_p\), если молярный объём жидкости в рассматриваемом состоянии равен \(V=58\) см\(^3\)/моль.

Два одинаковых вертикальных тонкостенных цилиндрических сосуда внутреннего радиуса \(r\), в которых под поршнями находятся равные количества идеального газа, поставили в комнату с температурой воздуха \(T_0\). В одном сосуде газ имеет температуру \(T_\text{Х} < T_0\), а в другом — температуру \(T_\text{Г} > T_0\). Дно цилиндров и поршень теплоизолированные. Мощность тепловых потерь через боковые стенки прямо пропорциональна произведению площади контакта и разности температур содержимого сосуда и окружающей среды: \(N = \alpha S\Delta T\), где \(\alpha\) — некоторая константа. Атмосферное давление \(p_0\), поршни легкие. Молярная теплоемкость газа в сосудах при постоянном давлении \(C_p\). Известно, что максимальные скорости, с которыми двигались поршни каждого из цилиндров вплоть до установления в них комнатной температуры равны по модулю (\(v_\text{Х}^{\max} = v_\text{Г}^{\max}\)). Выразите \(T_\text{Г}\) через \(T_0\) и \(T_\text{Х}\).

Элемент Пельтье состоит из двух пластин, разделённых большим количеством полупроводниковых блоков (рис. из «Википедии» ниже), и представляет собой преобразователь электрической энергии в тепловую. Он также может работать и в обратном режиме — вырабатывать ЭДС при наличии разности температур на пластинах.

На втором рисунке схематично изображено устройство на основе элемента Пельтье. Нижняя пластина находится в контакте с «тепловым резервуаром» — большим телом, температуру которого \(T_r\) можно считать постоянной. Верхняя пластина контактирует с телом с теплоёмкостью \(C\) и температурой \(T\), которая изменяется со временем. Сверхпроводящая катушка с индуктивностью \(L\) включена между контактами элемента. В начальный момент: \(T = T_0\), \(T_0 > T_r\).

В данных условиях верхнее тело отдаёт элементу за время \(\Delta t\) количество теплоты \(\Delta Q = \alpha T I \Delta t\), где \(\alpha\) — постоянный коэффициент, \(I\) — ток через элемент. Положительным направлением тока считается направление от «плюса» к «минусу». Элемент Пельтье при этом вырабатывает ЭДС, которая равна \(\mathcal{E} = \alpha(T - T_r)\). Полярность создаваемой ЭДС (для \(T > T_r\)) совпадает с указанной на рисунке. Сопротивление элемента Пельтье равно \(R\).

Оказывается, в рассматриваемой системе возможно периодическое изменение температуры тела \(T(t)\) и тока в цепи \(I(t)\). В задаче предлагается исследовать колебания тока и температуры при различных значениях параметров: \(T_r\), \(T_0\), \(C\), \(\alpha\), \(R\), которые считаются известными. Ток в цепи в начальный момент равен нулю: \(I(0) = 0\). Разность температур тела и резервуара можно считать малой: \(|T - T_r| \ll T_r\) в любой момент времени.

1. Рассмотрим идеализированный, фантастический случай, когда сопротивление \(R\) равно нулю и теплообмен между тепловым резервуаром и телом за счёт теплопроводности отсутствует.

1a) Получите дифференциальное уравнение для функции \(I(t)\). (2 балла)

1b) Преобразуйте полученное уравнение с учётом условия \(|T - T_r| \ll T_r\) и найдите частоту \(\omega_0\) колебаний тока. (3 балла)

1c) Найдите зависимость температуры тела от времени \(T(t)\). (1 балл)

2. Физически случай, описанный в п. 1, никогда не реализуется. Рассмотрим параметры системы, близкие к реальности. Пусть известно сопротивление элемента \(R\), мощность передачи тепла от тела резервуару определяется соотношением \(P = k(T - T_r)\), где \(k\) — известный коэффициент, а Джоулево тепло, выделяющееся в элементе, делится поровну между пластинами. В этом случае колебания будут затухающими.

2a) Получите дифференциальное уравнение для функции \(I(t)\) в этом случае. (3 балла)

2b) Покажите, что нелинейными слагаемыми, пропорциональными \(I^2\) и \(I\dot I\), (точка сверху обозначает производную по времени) в уравнении из п. 2a) можно пренебречь и преобразуйте полученное уравнение к виду \(\ddot I + 2\gamma\dot I + \omega^2 I = 0\) (уравнение затухающих колебаний). Чему равны коэффициенты \(\gamma\) и \(\omega\)? (4 балла)

2c) Полагая затухание слабым (\(\gamma^2 \ll \omega^2\)), определите относительное изменение амплитуды тока за период \(\dfrac{\Delta I_{\max}}{I_{\max}}\). Ответ выразите через коэффициенты \(\gamma\) и \(\omega\). (3 балла)

3. Предлагается создать на основе данного устройства установку для точного измерения теплоёмкости тел. Параметры: \(T_r\), \(\alpha\), \(k\), \(R\), \(L\) известны. Их измерили раньше с высокой точностью. В распоряжении экспериментатора есть электроизмерительные приборы, осциллограф и генератор переменного напряжения, частоту которого можно менять в широком диапазоне. Опишите в двух словах возможную схему эксперимента. (2 балла)