Полёт пружинки

Решение

A1. Кладем динамометр на стол, крепим к нему пружину с гайкой, рукой деформируем пружину, держась за гайку. Снимаем зависимость \(\Delta x(F)\):

Ответ:

Погрешность измерения линейкой \(\sigma(\Delta x)=0.5~ мм\).

Погрешность динамометра \(\sigma(F)=0.05 ~Н\).

A2. Так как пружина подчиняется закону Гука \(F=k \Delta x\), то из наклона графика зависимости \(F(\Delta x)\) легко определить коэффициент жесткости пружины:

Ответ:

\[k=\left(232\pm11\right)~\frac{мН}{см}=\left(23.2\pm1.1\right)~\frac{Н}{м}\]

A3. Собираем установку, снимаем зависимость \(H(\Delta x)\). Так как заметно, что пружина подлетает каждый раз на разную высоту, для каждой величины \(\Delta x\) проведем серию измерений высоты \(H\), для уменьшения статистической ошибки.

Ответ:

\[\sigma(H)=\frac{\sum_{i-1}^7|\langle H \rangle -H_i|}{7}\].

A4. Ответ:

График зависимости \(H\left(\Delta x^{2}\right)\)

A5. Оценим отношение масс гайки и пружинки. Закрутим гайку на конец пружины, эту систему сбалансируем на ребре линейки, откуда через отношение плеч найдем отношение масс:

Центр масс пружины находится в геометрическом центре пружины, центр масс гайки – в её геометрическом центре. Центр масс системы, очевидно находится на ребре линейки.

\[m_г g L_{2}=m_{пр} g L_{1}\]\[\alpha=\frac{m_г}{m_{пр}}=\frac{L_{1}}{L_{2}} \approx 1.6\]Длина пружинки \(L=5~см\), будем замерять высоту \(H\) от центра масс системы в положении равновесия:

\[L_{2}=\frac{L}{2}-L_{1}=L-L_{2} \frac{m_{г}}{m_{пр}} \implies L_{2}=\frac{L m_{пр }}{2\left(m_{пр }+m_{г}\right)} \approx 1~см\]После растяжения пружины на \(\Delta x\) её центр масс перейдет в новое положение:

\[L_{1.1}+L_{2.1}=\frac{L+\Delta x}{2}\]Откуда:\[L_{2.1}=\dfrac{L+\Delta x}{2} \dfrac{m_{пр}}{\left(m_{пр}+m_г\right)}.\]А смещение центра масс:\[\Delta y=L_{2}+\Delta x-L_{2.1}=\Delta x-\frac{\Delta x}{2} \frac{m_{пр}}{\left(m_{пр}+m_г\right)}=\frac{\Delta x}{2}\left(\frac{m_{пр}+2 m_г}{m_{пр}+m_г}\right)=\frac{\Delta x}{2}\left(\frac{1+2 \alpha}{1+\alpha}\right) \approx0.8 \Delta x\]Запишем закон сохранения энергии. При деформации пружины, в ней запасается энергия, но из-за того, что центр масс системы опускается, понижается потенциальная энергия. После сжатия пружины, часть энергии теряется, часть идет в кинетическую энергию:

\[-\left(m_г+m_п\right) g \Delta y+\frac{k \Delta x^{2}}{2}=Q+\frac{\left(m_г+m_п\right) v^{2}}{2}; \qquad(1)\]После вылета пружины и гайки, они свободно летят до высоты \(H\):

\[\frac{\left(m_г+m_п\right) v^{2}}{2}=\left(m_г+m_п\right) g H \qquad(2)\]Подставим \((2)\) в \((1)\):

\[-g \Delta y+\frac{k \Delta x^{2}}{2}=Q+\left(m_г+m_п\right) g H \qquad(3)\]Выразим из \((3)\) теплоту:

\[Q_{1}=\frac{k \Delta x^{2}}{2}-\left(m_г+m_п\right) g H+0.8 g \Delta x\]Используя данные и найденные величины, пересчитаем значения всех энергий в таблицу:

Из таблицы видно, что при деформации \(\Delta x=4~см\) потерянная энергия \(Q=(7.18 \pm 0.73)~мДж\), а запасенная энергия \(\dfrac{k x^{2}}{2}=(18.56 \pm 0.46)~мДж\). Таким образом:

Ответ:

\[\beta=0.33 \pm 0.04\]

Источник: pho.rs/p/4007.