Задачи › Равномерное движение, средняя скорость

Робот в лабиринте и средняя скорость

  1. Робот в лабиринте и средняя скорость

    ВсОШ 2025/26, 7 кл.
    3/10

    Для соревнований в номинациях «лабиринт», «гонки преследования» и «следование по линии» семиклассник сконструировал квадратного робота со стороной \(10\) см, который может двигаться в трёх скоростных режимах: А — со скоростью \(3\) м/мин, Б — со скоростью \(4\) м/мин, В — со скоростью \(5\) м/мин.

    Какое наилучшее время робот способен показать в «лабиринте» размерами \(130 \times 130\) см? Временем на повороты пренебречь. Робот не пересекает внешние и внутренние границы лабиринта. Две стороны робота при движении всегда остаются параллельны прилегающим к ним сторонам лабиринта, вектор скорости параллелен двум сторонам робота и перпендикулярен двум оставшимся сторонам. Временем прохождения лабиринта считается промежуток времени, прошедший от пересечения геометрическим центром робота линии входа до пересечения линии выхода лабиринта.

    Рисунок

    1. Ответ выразите в секундах, округлите до целых.

    2. В «гонках преследования» робот использовал скоростной режим Б (4 м/мин). Если бы он проходил в минуту на \(0{,}5\) м больше, то на тот же путь ему бы потребовалось на 1 минуту меньше. Сколько времени ехал робот? Ответ выразите в минутах, округлите до целых.

    3. Какой путь он прошёл? Ответ выразите в метрах, округлите до целых.

    4. На соревнованиях «следование по линии» робот половину пути проехал в скоростном режиме А (3 м/мин), а оставшуюся половину — в режиме Б (4 м/мин). Чему равна средняя скорость робота на всём пути? Ответ выразите в м/мин, округлите до десятых.

    5. На соревнованиях «следование по линии» робот половину времени проехал в скоростном режиме А (3 м/мин), а оставшуюся половину — в режиме Б (4 м/мин). Чему равна средняя скорость робота на всём пути? Ответ выразите в м/мин, округлите до десятых.

    6. На соревнованиях «следование по линии» робот половину пути проехал в скоростном режиме А (3 м/мин), половину оставшегося времени — в режиме Б (4 м/мин), а последний участок — в режиме В (5 м/мин). Чему равна средняя скорость робота на всём пути? Ответ выразите в м/мин, округлите до десятых.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Минимальная траектория центра робота проходит через лабиринт без разворотов на \(180^\circ\). Найдите её длину, затем время при максимальной скорости. Для средних скоростей используйте определение: весь путь делить на всё время.

    Ответ

    1) засчитывается в диапазоне \([67;\,69]\) с;  2) \(9\) мин;  3) \(36\) м;  4) \(3{,}4\) м/мин;  5) \(3{,}5\) м/мин;  6) \(3{,}6\) м/мин.

    Решение

    1) По условию разворот робота на \(180^\circ\) невозможен, поэтому существует только один маршрут. Длина траектории центра робота составляет 57 клеток. Сторона клетки равна \(130\) см\(:13 = 10\) см, поэтому путь центра робота \(s = 57 \cdot 10\) см \(= 5{,}7\) м. Для наилучшего времени робот движется в режиме В (5 м/мин): \[t = \frac{s}{v} = \frac{5{,}7~\text{м}}{5~\text{м/мин}} = 1{,}14~\text{мин} = 68{,}4~\text{с} \approx 68~\text{с}.\]

    2) Время и скорость обратно пропорциональны при одном и том же пути: \(\dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{t_1}{t_2}\). Пусть \(t_1\) — время при скорости \(4\) м/мин, тогда \(\dfrac{4}{4{,}5} = \dfrac{t_1 - 1}{t_1}\), откуда \(t_1 = 9\) мин.

    3) \(s = v_1 t_1 = 4\) м/мин \(\cdot\, 9\) мин \(= 36\) м.

    4) Средняя скорость при равных путях: \[v_{ср} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2\cdot 3\cdot 4}{3 + 4}~\text{м/мин} \approx 3{,}4~\text{м/мин}.\]

    5) При равных временах средняя скорость равна среднему арифметическому: \[v_{ср} = \frac{v_1 + v_2}{2} = 3{,}5~\text{м/мин}.\]

    6) Пусть \(t_3 = t_2\), \(s_3 = v_3 t_3\), \(s_2 = v_2 t_3\), \(s_1 = s_2 + s_3 = (v_2 + v_3)t_3\), \(t_1 = \dfrac{s_1}{v_1} = \dfrac{(v_2 + v_3)t_3}{v_1}\). Тогда \[v_{ср} = \frac{s_1 + s_2 + s_3}{t_1 + t_2 + t_3} = \frac{2v_1(v_2 + v_3)}{2v_1 + v_2 + v_3} = \frac{2\cdot 3\cdot (4 + 5)}{2\cdot 3 + 4 + 5}~\text{м/мин} = 3{,}6~\text{м/мин}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх