Поле в центре

Выразите ток через участок кольца через разность потенциалов на его концах, а затем сложите вклады всех участков кольца по закону Био–Савара–Лапласа: в центре они пропорциональны именно разностям потенциалов.

а) Выберем ось \(z\), перпендикулярную плоскости рисунка и направленную на нас. Из закона Био–Савара–Лапласа следует, что вектор индукции поля, создаваемого участком 1-2, перпендикулярен плоскости рисунка. Его проекция на ось \(z\) равна: \[B_z = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I_{21}L}{r^2} = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I_{21}\rho L}{\rho r^2} = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\varphi_2 - \varphi_1}{\rho r^2},\] где \(I_{21}\) – алгебраическое значение тока, протекающего через участок 1-2 (положителен, когда ток течёт от точки 2 к точке 1, и отрицателен, когда наоборот), \(L\) – длина участка 1-2.

б) Радиальные перемычки и прямолинейные провода в точке \(O\) магнитного поля не создают, так как лежат на прямых, проходящих через точку \(O\). Кольцо (как малое, так и большое) тоже не создают поля в точке \(O\), поскольку сумма \(\sum_i \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{\varphi_{i+1} - \varphi_i}{\rho r^2}\) равна нулю при обходе по замкнутому контуру, который не содержит батареек. Таким образом, индукция магнитного поля в точке \(O\) равна нулю.