Линейка с грузиком на краю стола

Запишите правило моментов относительно края стола в обоих опытах; во втором вместо силы тяжести груза действует её разность с силой Архимеда.

Пусть \(L = 40\) см — длина линейки, \(a = 10\) см, \(b = 15\) см — длины выступающей части линейки в двух опытах, \(m\) — масса груза, \(M\) — масса линейки, \(\rho_0 = 1000\text{ кг/м}^3\) — плотность воды, \(\rho\) — плотность грузика.

Пусть длина выступающей части линейки равна \(a\). К линейке приложены силы \(mg\) — на расстоянии \(a\) от оси вращения и \(Mg\) на расстоянии \(L/2 - a\) от оси вращения. Поскольку линейка находится в равновесии, на основе правила рычага получим: \(mga = Mg(L/2 - a)\) и \(M/m = a/(L/2 - a) = 1\).

Пусть длина выступающей части линейки равна \(b\). К концу линейки приложена сила \(F\), равная разности силы тяжести \(mg\), действующей на груз, и силы Архимеда \(\rho_0 g \cdot m/\rho\): \(F = mg(1 - \rho_0/\rho)\). К середине линейки, на расстоянии \(L/2 - b\) от оси вращения, приложена сила \(Mg\). По правилу рычага, \(Fb = Mg(L/2 - b)\). Отсюда \[mg\left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right) b = Mg\,(L/2 - b)\] и \[\frac{\rho_0}{\rho} = 1 - \frac{M}{m}\cdot\frac{L/2 - b}{b} = \frac{2}{3}.\]